2.2 Genomsnittlig förändringshastighet

Teori

Övningar

Begreppet

Givet:

Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \] dvs ett intervall med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \).

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastigheten i detta intervall dvs:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]

Om vi inför den nya beteckningen:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \; x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

kan funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \) definieras som:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \]

Om vi kommer ihåg hur begreppet lutning var definierat i Matte B-kursen kan vi se att uttrycket ovan är inget annat än lutningen till den räta linjen som ersätter kurvan \( y = f\,(x) \) i det betraktade intervallet.

Exempel 1

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger: