Ekvationer

<< Repetitioner

Genomgång

Rotekv.- & högre gradsekvationer

Övningar Rotekv. & högre ...

1:a avsnitt: Polynom >>

Olika typer av ekvationer

$\qquad$

Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet.

I Matte 1-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ:

Linjära ekvationer:

$\qquad\qquad\quad 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12$

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten $x\,$ förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. $x\,$ är ju samma som $x^1\,$ . Högre $\, x$ -potenser förekommer inte i ekvationen.

I Matte 2-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:

Andragradsekvationer: $\qquad\qquad x^2 + 6\,x - 16 = 0$

Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten $x\,$ förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som $x^2\,$ . Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.

Fyra metoder för lösning av andragradsekvationer

1) Nollproduktmeoden $\quad (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 \;\;$ och $\; x_2 = 4$ .

$\quad x^2 - 16 \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \, = \, 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 4 \;\;$ och $\; x_2 = -4$ .

3) pq-formeln:

Normalformen

$\, x^2 + p\,x + q = 0 \,$ till en 2:a gradsekvation kan lösas med pq-formeln:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}$

En annan variant är den s.k. abc-formeln till 2:a gradsekvationen $a\,x^2 + b\,x + c = 0\,$ som kan skrivas om till normalform genom division med $\, a$ .

4) Vietas formler. Vi behandlar här denna metod i detalj:

Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen

Den franske matematikern François Viète var en av de första som på $1500$ -talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.

Uppgift:

Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är $\, x_1 = 2 \,$ och $\, x_2 = 3$ .

Lösning:

För lösningarna $x_1\,$ och $\, x_2\,$ av 2:a gradsekvationen $\, x^2 + p\,x + q = 0 \,$ gäller

Vietas formler:

$\boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}}$

$\quad {\rm Dvs:} \quad$

$\begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\ 2 \cdot 3 & = 6 = q \end{align}$

$\quad {\rm och:} \quad$

$\begin{align} p & = -5 \\ q & = 6 \end{align}$

Därmed blir 2:a gradsekvationen:

$\; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0$

$\qquad$

Kontroll och jämförelse med p-q-formeln:

$\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 2 \end{array}$

Uppgiften ovan ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter.

Den är en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen:

Vietas formler

Om 2:gradsekvationen $\; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \;$ har lösnin-

garna $x_1\,$ och $x_2\,$ så gäller $\qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}}$

Bevis med p-q formeln

2:a gradsekvationen $\, x^2 + p\,x + q = 0\,$ har enligt pq-formeln lösningarna $\quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}$

Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:

$\displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p$

Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.

Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:

$\displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q$

Omformningen kring $\color{Red} =$ sker enligt konjugatregeln $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$ om vi sätter $\displaystyle a = -\frac{p}{2}$ och $\displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}$ .

Detta bevisar Vietas andra formel.

Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter

Lösningarna $\, x_1\,$ och $\, x_2\,$ till 2:a gradsekvationen $\, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \,$ är nollställena till 2:gradspolynomet:

$x^2 + p\,x + q$

Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform $\, (x-x_1) \cdot (x-x_2)$ har nollställena $x_1\,$ och $x_2\,$ så gäller:

$(x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0$

Därav följer $\qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2)$

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:

$x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2$

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet $x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2$ (högerled) och polynomet $x^2 + p\,x + q$ (vänsterled) ger:

$x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q$

Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom Polynom i faktorform och/eller Jämförelse av koefficienter.

Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än $2$ och formuleras för polynom av grad $n$ .

Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)

Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.

Exempel 1:

Lös ekvationen $\quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0$

Lösning:

För lösningarna $x_1\,$ och $x_2\,$ måste enligt Vietas formler gälla:

$\begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}$

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man $\, 2 \,$ och $\, 5 \,$ eftersom $\, 2 + 5 = 7\,$ och $\, 2 \cdot 5 = 10$ .

Kontrollen bekräftar resultatet:

$2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0$

$5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0$

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet $x^2 - 7\,x + 10$ kan vi faktorisera det:

$x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5)$

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.

Exempel 2

Lös ekvationen $\quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0$

Lösning:

Vietas formler ger:

$\begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}$

Man hittar lösningarna $x_1 = 4\,$ och $x_2 = 4\,$ eftersom $4 + 4 = 8\,$ och $4 \cdot 4 = 16$ .

Därför kan polynomet $x^2 - 8\,x + 16$ faktoriseras så här:

$x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2$

Den dubbla förekomsten av faktorn $(x-4)\,$ ger roten, dvs lösningen $x = 4\,$ , dess namn dubbelrot.

Nackdelen med Vieta

En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:

$x^2 - 13\,x + 2 = 0$

Vietas formler ger: