2.2 Genomsnittlig förändringshastighet

<< Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Nästa avsnitt >>

Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet

Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.

I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi \( \, 5\;579 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;955 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Lösning: \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Betrakta skatten som en funktion av lönen:

\( x\, \)	\( y\, \)
\( 23\,000 \)	\( 5\,579\)
\( 24\,200 \)	\( 5\,955 \)

\( \quad\;\; x \, = \, \) Månadslönen i kr.

\( \quad\;\; y \, = \, \) Skatten i kr.

\( \quad \)

Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%\]

I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; \color{Red} {0,313} \).

Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \color{Red} {0,313} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.

Matematisk tolkning: Marginalskatten \( = \) Skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten anses som en funktion av lönen.

Ekonomisk tolkning: Marginalskatten är \( \, 31,3 \, \% \), dvs Martin måste betala \( \, 31,3\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.

Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet: Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)

Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 \]

I intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \color{Red} 2 \).

Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, \color{Red} 2 \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet.

Geometrisk tolkning: Om man ersätter kurvan \( \, y = x^2 \, \) med en rät linje har denna linje som kallas för kurvans sekant, lutningen \( \, \color{Red} 2 \).

Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Generellt gäller:

En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den räta linjen (sekanten)
som ersätter funktionen i intervallet.

Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a) Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b) Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet

från början tills tanken är tom.

c) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).

Lösning:

a) Se grafen ovan.

b) Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.

Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\( \qquad 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \qquad \) Räknarens ekvationslösare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.

Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \).

I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]

Dvs i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.

c) Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]

\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]

Dvs i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.

Allmän definition

Givet: Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( \, x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) och \( \, x_1 \neq x_2 \).

Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning: \( \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {\boxed {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}}} \quad \) Detta uttryck har använts i exemplen ovan.

Övergång till notation med steglängden \( \, h\, \):

Uttrycket ovan används i början pga dess kända form som lutning. Men i fortsättning kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.

Denna variant får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning \( \, h\, \) för \( \, x\)-intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:

Funktionen \( \, y = f\,(x)\):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden \( \, h \neq 0 \, \) är:

\( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)

Observera att den genomsnittliga förändringshastigheten endast kan definieras i ett givet intervall på \( \, x\)-axeln vars längd är \( \, \neq 0 \).

Denna definition för genomsnittlig förändringshastighet användes i Aktiviteten och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.

Beteckningar

Uttrycket \( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \quad \) har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:

Genomsnittlig förändringshastighet

Förändringskvot

Ändringskvot

Differenskvot

Kärt barn har många namn.

Genomsnittlig vs. momentan förändringshighet

Exempel 3 Oljetank (forts.)

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten enligt:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

Beräkna ett bra närmevärde till oljans utströmningshastighet

när den är störst, t.ex. genom att beräkna oljans genomsnitt-

liga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, \color{Red} {0,1} \, \).

Tolka resultatet.

Lösning:

Oljans utströmningshastighet är störst när volymen och därmed trycket på hålet är störst, dvs i början.

Grafen visar att kurvans lutning är brantast vid tiden \( \, x = 0\, \) när oljan har den största volymen \( \, 9\,000 \) liter.

Därför är utströmningshastigheten störst vid tiden \( x = 0 \) vilken vi dock inte kan beräkna, därför att \( x = 0 \) är en punkt och inte ett intervall:

Denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig eller momentan. Men vi kan närma oss den.

Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, \color{Red} {0,1} \, \):

\[ f\,(\color{Red} {0,1}) = 4 \cdot \color{Red} {0,1}\,^2 - 380 \cdot \color{Red} {0,1} + 9\,000 = 8962,04 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(\color{Red} {0,1}) \, - \, f(0) \over \color{Red} {0,1} - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over \color{Red} {0,1}} = {-37,96 \over {\color{Red} {0,1}}} \, = \, \color{Red} {-379,6} \]

I intervallet \( \, 0 \leq x \leq \color{Red} {0,1} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 379,6\, \) liter per minut.

Tolkning: Detta är ett närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( \, x = 0\, \) (exakta värdet).

Ett ännu bättre närmevärde får man om man väljer en ännu mindre intervallängd \( \, h \, \).

Faktiskt är \( \, -379,6 \, \) inget dåligt närmevärde, för det exakta värdet kommer att visa sig vara \( -380 \), se Derivatans definition.

För att kunna definiera derivatan behöver vi konceptet Gränsvärde, där man låter intervallets längd gå mot \( \, 0\, \): \( \quad \bf{ \color{Red} {\boxed{h \to 0}} } \)