2.2 Genomsnittlig förändringshastighet

\( \pmb{\gets} \) Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Nästa demoavsnitt \( \pmb{\to} \)

Lektion 17: Genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2015 (tabell 29, kolumn 2) hittar vi

\( \, 5\;297 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;676 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna marginalskatten som är skattens procentuella andel i varje mer intjänad krona.

Matematiskt är marginalskatten skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten uppfattas som en funktion av lönen.

Lösning:

Skatten \( \, y \, \) kan definieras som en diskret funktion av lönen \( \, x\, \) i tabellform:

\( x\, \)	\( y\, \)
\( 23\,000 \)	\( 5\,297\)
\( 24\,200 \)	\( 5\,676 \)

\( \qquad\qquad \)

\( x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \)

\( y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \)

Förhållandet (kvoten) mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för funktionen \( \, y\):s genomsnittliga förändringshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,676 - 5\,297 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; {\color{Red} {0,316}} \; = \; 31,6 \, \%\]

I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; {\color{Red} {0,316}} \).

Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \; {\color{Red} {0,316}} \quad y\)-enheter per \( \, x\)-enhet.

Ekonomisk tolkning: Martin måste betala \( \, 31,6\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona. Man säger: marginalskatten är \( \, 31,6 \, \% \).

Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet: Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)

Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} \]

I intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, {\color{Red} 2} \).

Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, {\color{Red} 2} \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet.

Geometrisk tolkning: Om man ersätter kurvan \( \, y = x^2 \, \) med en rät linje har denna linje som kallas för kurvans sekant, lutningen \( \, {\color{Red} 2} \).

Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Allmän definition

Givet: Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning: \( \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}} \)

Uttrycket ovan har använts i exemplen \( \, 1\)-\(2 \).

En enklare form på uttrycket får man om man inför den nya beteckningen \( h\, \) för intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

I formeln ovan ersätter vi \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \). Då kan vi definiera:

Funktionen \( \, y = f\,(x)\):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden \( \, h \, \):

\( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)

Observera att en funktions genomsnittliga förändringshastighet endast kan definieras i ett givet intervall på \( \, x\)-axeln.

Beteckningar

Kärt barn har många namn: Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:

Genomsnittlig förändringshastighet

Förändringskvot

Ändringskvot

Differenskvot

Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a) Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b) Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet

från början tills tanken är tom.

c) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \).

d) När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.

Lösning:

a) Se grafen ovan.

b) Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter. Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]

Räknarens ekvationslösare visar att \( x = 45\, \) är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom \( 0 \leq x \leq 45 \). I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 \]

I hela tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.

c) Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]

\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 \]

I tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.

d) Grafen i a) visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller momentan.

För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) måste man bestämma funktionen \( y\, \):s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.

För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med \( x = 0\, \) som undre intervallgräns.

Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \):

\[ f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 \]

I tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \) sjunker oljans volym med \( 379,6\, \) liter per minut.

Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \), för det exakta värdet är \( -380\, \). I avsnittet 2.4 Derivatans definition kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.