2.2 Genomsnittlig förändringshastighet

<-- Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Nästa demoavsnitt -->

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2014 (sida 2, kolumn 2) hittar vi \( \, 5\;302 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;681 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för marginalskatt.

Lösning:

Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Detta innebär att skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:

\[ x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \]

\[ y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \]

Då blir \( y\, \) är en funktion av \( x\, \) som i det här fallet inte är definierad med en formel utan i tabellform:

\( x\, \)	\( y\, \)
\( 23\,000 \)	\( 5\,302 \)
\( 24\,200 \)	\( 5\,681 \)

Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,681 - 5\,302 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; 0,316 \; = \; 31,6 \, \%\]

Marginalskatten är därmed \(31,6 \, \% \), vilket i praktiken innebär att Martin måste betala \(31,6\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.

Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen \(\,y\):s genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade \(\,x\)-intervallet.

Exempel 2 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen: \[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \] där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \) \[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \] a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet        från början tills tanken är tom. c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \). d)    När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.

Fil:Ex2 70.jpg

Lösning:

a)    Se grafen till höger.

b)    Grafen tyder pår att tanken är tom efter ca. 45 minuter. Den exakta tiden får man genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]

Räknarens ekvationslösare visar att \( x = 45\, \) är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom \( 0 \leq x \leq 45 \). I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 \]

I hela tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \) sjunker oljans volym med 200 liter per minut.

c)    Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]

\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 \]

I tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \) sjunker oljans volym med 180 liter per minut.

d)    Grafen i a) visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller momentan.

För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) måste man bestämma funktionen \( y\, \):s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.

För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med \( x = 0\, \) som undre intervallgräns.

Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \):

\[ f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 \]

I tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \) sjunker oljans volym med \( 379,6\, \) liter per minut.

Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \), för det exakta värdet är \( -380\, \). I avsnittet 2.4 Derivatans definition kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.

Exempel 3 Kvadratisk funktion

Givet: Funktionen \( y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \) Intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \) Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i \( \, x\)-intervallet. Lösning: \[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} \]

I \( \, x\)-intervallet ersätts kurvan \( \, y = x^2 \, \) (blå i grafen) av en rät linje (grön) vars lutning

är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 0 \leq x \leq 2 \):

Funktionen \( y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( 2 \; y \)-enheter per \( \, x\)-enhet, vilket innebär

att lutningen och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet där är \( \ {\color{Red} 2} \).

Allmän definition

Givet:

Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.

Lösning:

Funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) kan vi enligt exemplen 1-3 börja att skriva så här:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]

En enklare form på uttrycket ovan får man om man inför den nya beteckningen \( h\, \) för intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

I formeln ovan ersätter vi \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \).

Funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall kan då definieras som:

\( \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)

Beteckningar:

Kärt barn har många namn:   Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:

Genomsnittlig förändringshastighet

Förändringskvot

Ändringskvot

Differenskvot

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf

Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.