3.5 Lösning 8b

Cylinderns volym \( \, V \, \) är basytan \( \times \) höjden dvs: \( \qquad\qquad\quad V\,(r, \, h) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; h \, \)

Vi sätter in bivillkoret från a) i \( \, V\,(r, \, h) \, \) och eliminerar \( \, {\color{Red} h} \, \):

\[ V\,(r, \, h) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; h \, = \, \pi\,r^2\cdot (-2\, r + 30) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3 \]

Därmed är målfunktionen:

\( V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3 \)