1.1 Lösning 2c

\(\begin{align} 6\,x - 3\,\sqrt{9+x} & = -9 & & | \;\; +9+3\,\sqrt{9+x} \\ 6\,x + 9 & = 3\,\sqrt{9+x} & & | \; (\;\;\;)^2 \\ (6\,x + 9)^2 & = 9\cdot (9 + x) \\ 36\,x^2 + 108\,x + 81 & = 81 + 9\,x & & | -9\,x - 81 \\ 36\,x^2 + 99\,x & = 0 \\ 9\,x\cdot (4\,x + 11) & = 0 & & | \;\; {\rm Nollprodukt}\\ 9\,x_1 & = 0 \\ x_1 & = 0 \\ 4\,x_2 + 11 & = 0 \\ 4\,x_2 & = - 11 \\ x_2 & = - 2,75 \\ \end{align}\)

Prövning:

Först prövar vi \( x_1 = 10 \):

VL\[ 10 + \sqrt{5\cdot 10 - 1} = 10 + \sqrt{50 - 1} = 10 + \sqrt{49} = 10 + 7 = 17 \]

HL\[ 3\, \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\; x_1 = 10 \) är en falsk rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = 1 \):

VL\[ 1 + \sqrt{5\cdot 1 - 1} = 1 + \sqrt{5 - 1} = 1 + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \]

HL\[ 3\, \]

VL = HL \( \Rightarrow\; x_2 = 1 \) är en sann rot.

Svar: Ekvationen

\[ x + \sqrt{5\,x - 1} = 3 \]

har den enda lösningen

\[ x = 1\, \]