2.4 Lösning 6b
Eftersom beröringspunkten ligger på parabeln blir beröringspunktens koordinater:
- \[ x = 1\, \]
- \[ y = f(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 - 8 = 1 + 5 - 8 = -2 \]
Beröringspunktens koordinater är \( (1, -2)\, \).
Tangenten är en rät linje vars ekvation i \(\,k\)-form är:
- \[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]
Tangenten till kurvan \( y = f(x) = x^2 + 5\,x - 8\, \) i \( x = 1 \) har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i \( x = 1 \) är \( f\,'(1) \) :
- \[ k \, = \, f\,'(1) \]
Från uppgiftens del a) har vi att \( f\,'(1) = 7 \). Således:
- \[ k \, = \, 7 \]
Således är \( k = 7\, \) och tangentens ekvation blir:
- \[ y \, = \, 7\,x \, + \, m \]
För att få fram \( m\, \) sätter vi in beröringspunktens koordinater (1, -2) i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger även på tangenten:
\[\begin{array}{rcl} y & = & 7\,x \, + \, m \\ -2 & = & 7 \cdot 1 \, + \, m \\ -2 & = & 7 \, + \, m \\ -2 - 7 & = & m \\ - 9 & = & m \end{array}\]
Tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, 7\,x \, - \, 9 \]
