2.4 Lösning 6b

Eftersom beröringspunkten ligger på parabeln blir beröringspunktens koordinater:

\[ x = 1 \]

\[ y = f(1) = 1^2 + 5 \cdot 1 - 8 = 1 + 5 - 8 = -2 \]

Beröringspunktens koordinater är (1, -2).

Tangenten är en rät linje vars ekvation i \(\,k\)-form är:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Tangenten till kurvan    \( y = f(x) = x^2 + 5\,x - 8\, \)    i    \( x = 1 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt. Kurvans lutning i   \( x = 1 \)   är   \( f\,'(1) \) :

\[ k \, = \, f\,'(1) \]

+++ För att få fram \( k\, \) bildar vi derivatan \( f\,'(x) \) och beräknar \( f\,'(-1) \) :

\[ f(x) \,=\, x^2 + 5 x - 1\, \]

\[ f\,'(x) \,=\, 2\,x + 5 \]

\[ f\,'(-1) \,=\, 2 \cdot (-1) + 5 \,=\, -2 + 5 \,=\, 3 \]

Således är   \( k = 3\, \)   och tangentens ekvation blir:

\[ y \, = \, 3\,x \, + \, m \]

För att få fram \( m\, \) beräknar vi först beröringspunktens koordinater:

\[ x = -1 \]

\[ y = f(-1) = (-1)^2 + 5 \cdot (-1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \]

Sedan sätter vi in beröringspunktens koordinater i tangentens ekvation, eftersom beröringspunkten ligger på tangenten:

\[\begin{array}{rcl} y & = & 3\,x \, + \, m \\ -5 & = & 3 \cdot (-1) \, + \, m \\ -5 & = & -3 \, + \, m \\ -5 + 3 & = & m \\ - 2 & = & m \end{array}\]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, 3\,x \, - \, 2 \]