1.3 Lösning 12b

Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera det 4:e gradspolynomet som var delvis faktoriserat\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]

I 11 a) hade vi bestämt \( Q(x)\, \) till\[ Q(x) = x^2 - 9\,x + 20 \]

Delfaktoriseringen av \( P(x)\, \) blir då\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x^2 - 9\,x + 20) \]

För att fullständigt faktorisera 4:e gradspolynomet måste även \( Q(x)\, \) faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 9\,x + 20 = 0 \]

Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-9) = 9 \\ x_1 \cdot x_2 & = 20 \end{align}\]

Det är enkelt att få lösningarna \( x_1 = 4\, \) och \( x_2 = 5\, \) ur dessa relationer.

Således kan \( Q(x)\, \) faktoriseras så här\[ Q(x)= x^2 - 9\,x + 20 = (x - 4) \cdot (x - 5) \]

Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 4:e gradspolynomet i början\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]

får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (x - 4) \cdot (x - 5) \]