1.3 Lösning 11a

Dubbelroten \( x = -1\,\) innebär följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot Q(x) \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom vars koefficienter a, b och c vi får bestämma\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

Detta ger följande delfaktorisering av \( P(x)\, \)\[ P(x) = x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 = (x+1)^2 \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) \]

Med hjälp av jämförelse av koefficienter ska vi nu bestämma koefficienterna a, b och c. För att kunna genomföra jämförelsen av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna\[ \begin{align} x^4 - 7\,x^3 + 3\,x^2 + 31\,x + 20 & = (x^2 + 2\,x + 1) \cdot (a\,x^2 + b\,x + c) = \\ & = a\,x^4 + b\,x^3 + c\,x^2 + 2\,a\,x^3 + 2\,b\,x^2 + 2\,c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = \\ & = a\,x^4 + (b+2\,a)\,x^3 + (c+2\,b+a)\,x^2 + (2\,c+b)\,x + c \end{align}\]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger\[ \begin{align} a & = 1 \\ b + 2\,a & = -7 \\ c + 2\,b + a & = 3 \\ 2\,c +b & = 31 \\ c & = 20 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra ekvationen får vi\[ \begin{align} b - 4\cdot 1 & = -17 \\ b - 4 & = -17 \\ b & = -17 + 4 \\ b & = -13 \end{align}\]

Genom insättning av \( b = -13\, \) i den tredje får vi\[ \begin{align} c - 4\,b & = 54 \\ c - 4\cdot(-13) & = 54 \\ c + 52 & = 54 \\ c & = 2 \end{align}\]

Den fjärde ekvationen bekräftar vårt resultat\[ \begin{align} - 4\,c & = -8 \\ - 4\cdot 2 & = -8 \end{align}\]

Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x)\, \)\[ Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 \]