3.4 Lösning 7b

Se första delen av Lösning 7a).

---

Om derivatan ska ha två nollställen och därmed funktionen exakt två lokala extrema, måste uttrycket under roten bli \( \, > \, 0 \, \):

\[ {b^2 \over 9\,a^2} \, > \, {c \over 3\,a} \]

Vi multiplicerar båda leden med \( \, 9\,a^2 \, \):

\[ b^2 \, = \, 3\,a\,c \]

Detta samband mellan konstanterna \( \, a,\, b,\, c \, \) måste gälla för att funktionen ska ha endast ett lokalt extremum. Det finns oändligt många möjligheter. Vi väljer \( \, a \, = \, 3 \, \) och \( \, c \, = \, 1 \, \) varav följer \( \, b \, = \, 3 \, \). Detta ger funktionen:

\[ y \, = \, 3\,x^3 \, + \, 3\,x^2 \, + \, x \]