3.2 Lösning 10a

Vi inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på \( x\)- och den kortare på \( y\)-axeln och den räta vinkeln hamnar i origo:

På så sätt blir hypotenusan del av en rät linje med negativ lutning. Vi kallar rektangelns andra sida för \( \, y \,\). Punkten \( \, (x, y) \, \) rör sig på denna rät linje.

Den räta linjens ekvation i \(\,k\)-form är:

\[ y \, = \, k\,x \, + \, m \]

Lutningen \(\,k\):

\[ k \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3} \]

Skärningspunkten med \(\,y\)-axeln:

\[ m \, = \, 20 \]

Tangentens ekvation:

\[ y \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20 \]

Detta är sambandet mellan \( \, y \,\) och \( \, x \, \) som bestäms av att rektangelns "fria" hörn är bunden till rektangelns hypotenusa.

Nu kan vi ställa upp ett uttryck för arean \( \, A(x) \, \) som endast beror av \( \, x \, \).

\[ A(x) \, = \, x \cdot y \, = \, x \cdot (- \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20) \, = \, \]