3.2 Lösning 10a

Vi inför ett koordinatsystem så att triangelns längre katet faller på $x$- och den kortare på $y$-axeln och den räta vinkeln hamnar i origo:

På så sätt blir hypotenusan del av en rät linje med negativ lutning. Vi kallar rektangelns andra sida för $\, y \,$. Punkten $\, (x, y) \,$ rör sig på denna räta linje.

Den räta linjens ekvation i $\,k$-form:

$$y \, = \, k\,x \, + \, m$$

Lutningen $\, k \,$:

$$k \, = \, {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3}$$

Skärningspunkten med $\,y$-axeln:

$$m \, = \, 20$$

Den räta linjens ekvation blir då:

$$y \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20$$

Denna ekvation kan uppfattas som det samband mellan $\, y \,$ och $\, x \,$ som bestäms av att rektangelns "fria" hörn är bunden till triangelns hypotenusa.

Vi använder sambandet ovan för att ställa upp ett uttryck för arean $\, A(x) \,$ som endast beror av $\, x$:

$$A(x) \, = \, x \cdot y \, = \, x \cdot (-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x$$