1.1 Lösning 10

Vi inför en ny variabel \( t\, \) som vi definierar till \( t = \sqrt{x} \).

Substitutionen (variabelbytet) \( t = \sqrt{x} \) ger upphov till \( t^2 = x \) när den kvadreras.

Ersätter man i ekvationen \( 2\,\sqrt{x} - x = 1 \) enligt substitutionen ovan \( \sqrt{x} \) med t och x med \( t^2 \) får man\[\begin{align} 2\,t - t^2 & = 1 & | \, + t^2 \\ 2\,t & = t^2 + 1 & | -2t \\ 0 & = t^2 - 2 t + 1 \\ t_{1,2} & = 1 \pm \sqrt{1 - 1} \\ t & = 1 \\ \end{align}\]

Sätter vi tillbaka \( t = 1 \) i substitutionen ovan\[ 1 = \sqrt{x} \] och kvadrerar får vi lösningen \( x = 1 \).

Prövning:

VL\[ 2\,\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \]

HL\[ \displaystyle 1 \]

VL = HL \( \Rightarrow\, x = 1 \) är rotekvationens lösning.