Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (Created page with "{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | {{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändr...") |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 8: | Rad 8: | ||
<!-- [[Media: Lektion 21 Rotekvationer.pdf|Lektion 1 Rotekvationer]] --> | <!-- [[Media: Lektion 21 Rotekvationer.pdf|Lektion 1 Rotekvationer]] --> | ||
| + | |||
| + | == Begreppet == | ||
| + | |||
| + | Ett uttryck av formen <math> a^x\, </math> läses "a upphöjt till x" och kallas <span style="color:red">potens</span>. <math> a\, </math> heter <span style="color:red">basen</span> och <math> x\, </math> <span style="color:red">exponenten</span>. | ||
| + | |||
| + | Om <math> x\, </math> är ett positivt heltal och <math> a\, </math> ett tal <math> \neq 0 </math> kan potensen <math> a^x\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 \cdot</math> <span style="color:red">upprepad multiplikation</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger: | ||
| + | ::::<math> a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} </math> | ||
| + | För negativa heltalexponenter kan potensen <math> a^{-x}\, </math> definieras som en förkortning för <math>1 /\,</math> <span style="color:red">upprepad division</span> av <math> a\, </math> med sig själv <math> x\, </math> gånger: | ||
| + | ::::<math> a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} </math> | ||
| + | Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 och ersätter man i uttrycket ovan divisionerna med "bråket" <math> {a \over 1} </math> (enligt regel) med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket <math> {1 \over a} </math>, kan man skriva om definitionen ovan så här: | ||
| + | ::::<math> a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} </math> | ||
| + | Vi får formeln för potenser med negativa heltalexponenter: | ||
| + | ::::<math> a^{-x} = {1 \over a^x} </math> | ||
| + | Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter: | ||
| + | ::::<math> a^2 = a \cdot a </math> | ||
| + | |||
| + | ::::<math> a^3 = a \cdot a \cdot a </math> | ||
| + | |||
| + | ::::<math> a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} </math> | ||
| + | |||
| + | ::::<math> a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} </math> | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | Själva aktionen <math> a^x\, </math> dvs att ta <math> a\, </math> upphöjt till <math> x\, </math> kallas <span style="color:red">exponentiering</span> och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om <span style="color:red">kvadrering</span>. | ||
| + | |||
| + | Anta i fortsättningen att <math> x\, </math> är en okänd variabel och <math> b\, </math> och <math> c\, </math> givna konstanter <math> \neq 0 </math> . Då kallas | ||
| + | |||
| + | :::::::funktioner av typ <math> y = 10^x\, </math> <span style="color:red">exponentialfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot a^x\, </math>. | ||
| + | |||
| + | :::::::ekvationer av typ <math> 10^x\,= 125 </math> <span style="color:red">exponentialekvationer</span>, generellt: <math> a^x\, = b </math>. | ||
| + | |||
| + | :::::::funktioner av typ <math> y = x^3\, </math> <span style="color:red">potensfunktioner</span>, generellt: <math> y = c \cdot x^b\, </math>. | ||
| + | |||
| + | :::::::ekvationer av typ <math> x^3\, = 8 </math> <span style="color:red">potensekvationer</span>, generellt: <math> x^b\, = c </math>. | ||
| + | |||
| + | I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom <span style="color:red">logaritmering</span> (se avsnitt [[1.6 Logaritmer|1.6 Logaritmer]]), löses potensekvationer genom <span style="color:red">rotdragning</span>. För t.ex. potensekvationen <math> x^3\, = 8 </math> finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning: | ||
| + | |||
| + | ::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ | ||
| + | \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ | ||
| + | x & = 2 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | Alternativt (med bråktal som exponent): | ||
| + | ::::::::::::<math>\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ | ||
| + | (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ | ||
| + | x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ | ||
| + | x & = 2 \\ | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| + | |||
| + | Det alternativa sättet att lösa ekvationen <math> x^3 = 8\, </math> visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som <span style="color:red">exponentiering med bråktalsexponenter</span>. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter. | ||
| + | |||
| + | == Potenslagarna == | ||
| + | |||
| + | Följande lagar gäller för potenser där basen <math> a\, </math> är ett tal <math> \neq 0 </math>, exponenterna <math> x\, </math> och <math> y\, </math> vilka rationella tal som helst och <math> m,\,n </math> heltal (<math> n\neq 0 </math>), med exempel till höger: | ||
Versionen från 30 april 2011 kl. 14.05
| Teori | Övningar |
Begreppet
Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.
Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för \(1 \cdot\) upprepad multiplikation av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:
- \[ a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} \]
För negativa heltalexponenter kan potensen \( a^{-x}\, \) definieras som en förkortning för \(1 /\,\) upprepad division av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:
- \[ a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} \]
Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 och ersätter man i uttrycket ovan divisionerna med "bråket" \( {a \over 1} \) (enligt regel) med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket \( {1 \over a} \), kan man skriva om definitionen ovan så här:
- \[ a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} \]
Vi får formeln för potenser med negativa heltalexponenter:
- \[ a^{-x} = {1 \over a^x} \]
Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
- \[ a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} \]
- \[ a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} \]
Själva aktionen \( a^x\, \) dvs att ta \( a\, \) upphöjt till \( x\, \) kallas exponentiering och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om kvadrering.
Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) . Då kallas
- funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner, generellt\[ y = c \cdot a^x\, \].
- ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer, generellt\[ a^x\, = b \].
- funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner, generellt\[ y = c \cdot x^b\, \].
- ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer, generellt\[ x^b\, = c \].
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom logaritmering (se avsnitt 1.6 Logaritmer), löses potensekvationer genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Alternativt (med bråktal som exponent):
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Det alternativa sättet att lösa ekvationen \( x^3 = 8\, \) visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som exponentiering med bråktalsexponenter. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:
