Skillnad mellan versioner av "Ekvationer"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 100: | Rad 100: | ||
Detta ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter: | Detta ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter: | ||
| + | Generellt gäller: | ||
== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> == | == <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> == | ||
Versionen från 15 maj 2020 kl. 13.38
| << Repetitioner | Genomgång | Rotekv.- & högre gradsekvationer | Övningar Rotekv. & högre ... | 1:a avsnitt: Polynom >> |
Olika typer av ekvationer
 |
\( \qquad \) | Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet.
I Matte 1-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ: Linjära ekvationer: \( \qquad\qquad\quad 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \) |
Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x\, \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x\, \) är ju samma som \( x^1\, \). Högre \( \, x\)-potenser förekommer inte i ekvationen.
I Matte 2-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:
Andragradsekvationer: \( \qquad\qquad x^2 + 6\,x - 16 = 0 \)
Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten \( x\, \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som \( x^2\, \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen. I Matte 2 har vi lärt oss att lösa 2:a gradsekvationer med följande metoder:
1) Nollproduktmeoden: \( \quad (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 \;\; \) och \( \; x_2 = 4 \). \( \quad \) Läs mer här.
2) Kvadratrotsmetoden: \( \quad x^2 - 16 \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \, = \, 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 4 \;\; \) och \( \; x_2 = -4 \).
3) pq-formeln:
- Normalformen \(x^2 + p\,x + q = 0\,\) till en 2:a gradsekvation kan lösas med pq-formeln\[ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\]
4) Vietas formler. Vi repeterar här denna metod i detalj:
Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen
Den franske matematikern François Viète var en av de första som på \(1500\)-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
Uppgift:
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är \( \, x_1 = 2 \, \) och \( \, x_2 = 3 \).
Lösning:
För lösningarna \( x_1\,\) och \( \, x_2\,\) av 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) gäller
Vietas formler:
Därmed blir 2:a gradsekvationen:
|
\( \qquad \) | Kontroll och jämförelse med p-q-formeln:
|
Uppgiften ovan är bara en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen.
Detta ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter:
Generellt gäller:
Vietas formler
Om 2:gradsekvationen \( \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; \) har lösnin-
garna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller: \( \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \)
Bevis med p-q formeln
2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0\,\) har enligt pq-formeln lösningarna \( \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)
Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:
\( \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p\)
Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.
Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:
\( \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q \)
Omformningen kring \( \color{Red} = \) sker enligt konjugatregeln \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \) om vi sätter \( \displaystyle a = -\frac{p}{2} \) och \( \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\).
Detta bevisar Vietas andra formel.
Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter
Lösningarna \( \, x_1\, \) och \( \, x_2\, \) till 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, \) är nollställena till 2:gradspolynomet:
- \[ x^2 + p\,x + q \]
Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform \( \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 \]
Därav följer: \( \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom Polynom i faktorform och/eller Jämförelse av koefficienter.
Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än \(2\) och formuleras för polynom av grad \(n\).
Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.
Exempel 1:
Lös ekvationen \( \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 \)
Lösning:
För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
Med lite provande hittar man \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) eftersom \( \, 2 + 5 = 7\, \) och \( \, 2 \cdot 5 = 10 \).
Kontrollen bekräftar resultatet:
- \[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]
- \[ 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \]
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det:
- \[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
Exempel 2
Lös ekvationen \( \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 \)
Lösning:
Vietas formler ger:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( x_1 = 4\,\) och \( x_2 = 4\,\) eftersom \( 4 + 4 = 8\,\) och \( 4 \cdot 4 = 16 \).
Därför kan polynomet \( x^2 - 8\,x + 16 \) faktoriseras så här:
- \[ x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 \]
Den dubbla förekomsten av faktorn \( (x-4)\,\) ger roten, dvs lösningen \( x = 4\,\), dess namn dubbelrot.
Nackdelen med Vieta
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:
- \[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]
Vietas formler ger:
- \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer.
Med p-q formeln får man (se lösningen till övning 10 b)):
- \[\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}\]
I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella:
- \[ \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}\]
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=V8I2_zgNRHI
http://www.matteguiden.se/matte-c/polynomfunktioner/andra-typer-av-ekvationer/#Rotekvationer
http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Rotekvation
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/3.2_Rotekvationer
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.2_Rotekvationer
