Skillnad mellan versioner av "Ekvationer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Den falska roten)
m
 
(162 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.1 Ekvationer|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[Ekvationer|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Rotekvationer och högre gradsekvationer|Rotekv.- & högre gradsekvationer]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer|Övningar Rotekv. & högre ...]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
−
<!-- [[Media: Planering_MaC_11_12_ny.pdf|C-kursens planering]] -->
 
  
−
<Big><strong><span style="color:blue">Kapitel 1 Algebra och funktioner</span></strong></Big>
+
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av ekvationer</span></b> ==
 +
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
  
−
[[Media: Lektion 1 Rotekvationer.pdf|Lektion 1 Rotekvationer]]
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> [[Image:Fig111.gif]] </td>
 +
  <td> <math> \qquad </math> </td>
 +
  <td> Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet.
  
−
[[Media: Lektion 2 Fjärdegradsekvationer_2.pdf|Lektion 2 Fjärdegradsekvationer]]
+
I Matte 1-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ:
  
−
== Vilken typ av ekvation? ==
+
'''Linjära ekvationer:'''
−
[[Image: Fig110.jpg]]
+
  
−
Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet. I Matte A-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ:
+
<math> \qquad\qquad\quad 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 </math>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Sådana ekvationer kallas <b><span style="color:red">linjära</span></b> eller <b><span style="color:red">1:a gradsekvationer</span></b> eftersom obekanten <math> x\, </math> förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. <math> x\, </math> är ju samma som <math> x^1\, </math>. Högre <math> \, x</math>-potenser förekommer inte i ekvationen.
  
−
<Big>'''Linjär ekvation:'''</Big>
+
I Matte 2-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:
  
−
:::<math> 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 </math>  
+
'''Andragradsekvationer:''' <math> \qquad\qquad x^2 + 6\,x - 16 = 0 </math>  
  
−
Sådana ekvationer kallas <span style="color:red">linjära</span> eller <span style="color:red">1:a gradsekvationer</span> eftersom obekanten <math> x\, </math> förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. <math> x\, </math> är ju samma som <math> x^1\, </math>. Högre x-potenser förekommer inte i ekvationen. I Matte B-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:
+
Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt <b><span style="color:red">kvadratiska</span></b> eller <b><span style="color:red">2:a gradsekvationer</span></b> därför att obekanten <math> x\, </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som <math> x^2\, </math>. Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.
  
−
<Big>'''Andragradsekvation:'''</Big>
+
==== <b><span style="color:#931136">Fyra metoder för lösning av andragradsekvationer</span></b> ====
  
−
:::<math> x^2 + 6\,x - 16 = 0 </math>  
+
[[1.2_Faktorisering_av_polynom#Nollproduktmetoden|<span style="color:#931136">1) Nollproduktmeoden</span>]]<span style="color:black">:</span> <math> \quad (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 \;\; </math> och <math> \; x_2 = 4 </math>.
  
−
Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt <span style="color:red">kvadratiska</span> eller <span style="color:red">2:a gradsekvationer</span> därför att obekanten <math> x\, </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som <math> x^2\, </math>. Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.
+
<span style="color:#931136">2) Kvadratrotsmetoden:</span> <math> \quad x^2 - 16 \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \, = \, 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 4 \;\; </math> och <math> \; x_2 = -4 </math>.  
  
−
Den generella lösningen av 3:e- och högre gradsekvationer är så pass svår att den inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. principiellt omöjligt att med algebraiska operationer dvs <math> + </math>, <math> - </math>, <math> \cdot </math>, <math> / </math> och<math>\sqrt{\;\;}\;</math> lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form. Detta är en viktig sats inom algebran som bevisades av den norske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Henrik Abel] så sent som 1824. Sådana ekvationer som inte går att lösa algebraiskt, kan dock i praktiken lösas med [http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis numeriska metoder] som man kan programmera och låta datorn göra jobbet. Vissa specialfall däremot går att lösa algebraiskt. Vi kommer att ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation.
+
<span style="color:#931136">3) pq-formeln:</span>
 +
----
 +
::<b><span style="color:red">Normalformen</span></b> <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> till en 2:a gradsekvation kan lösas med pq-formeln<span style="color:black">:</span>
  
−
Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av en helt ny typ:
+
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
  
−
<Big>'''Rotekvation:'''</Big>
+
----
 +
En annan variant är den s.k. abc-formeln till 2:a gradsekvationen <math>a\,x^2 + b\,x + c = 0\,</math> som kan skrivas om till normalform genom division med <math> \, a </math>.
  
−
:::<math> \sqrt{6 x + 10} + 1 = x </math>  
+
<span style="color:#931136">4) Vietas formler</span>. Vi behandlar här denna metod i detalj:
 +
<small>
 +
== <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
 +
<big>
 +
Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
  
−
Sådana ekvationer kallas <span style="color:red">rotekvationer</span>. De är varken linjära eller kvadratiska. Med ''rot'' menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.
+
==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
 +
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
  
−
== Rotbegreppet ==
+
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 +
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
 +
</big>
  
−
[[Image:Fig111.gif]]
+
<table>
 +
<tr> <td><div class="ovnA">
 +
<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td><math> \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = q
 +
          \end{align}} </math></td>
 +
<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
 +
<td><math> \begin{align} 2  +  3 & = 5 = -p  \\
 +
                        2 \cdot 3 & = 6  = q
 +
          \end{align} </math></td>
 +
<td><math> \quad {\rm och:} \quad </math></td>
 +
<td><math> \begin{align} p & = -5  \\
 +
                        q & = 6
 +
          \end{align} </math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Innan vi ger oss på rotekvationer är det bra att komma ihåg vad rotdragning egentligen är för räkneoperation. Vill vi t.ex. lösa följande 2:a gradsekvationen måste vi dra roten ur bägge leden:  
+
Därmed blir 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
  
−
::::::::::::<math> x^2 = 4\; </math>  
+
::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
 +
</div></td>
 +
<td><math> \qquad </math></td>
 +
<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>
  
−
På vänsterled blir det x därför att rotdragning tar ut kvadraten i vänsterledet eftersom de per definition är s.k. <span style="color:red">inversa</span> (omvända) operationer, precis som paren addition/subtraktion och multiplikation/division. Men vad blir det på högerledet? Här måste vi precisera vårt rotbegrepp. Rotdragning ger alltid ett positivt värde som resultat:
+
:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0                          \\
−
+
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\
−
:::::::::::<math> \qquad \sqrt{4}\;= 2\;, \quad {\rm inte}\;-2 </math>
+
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
 +
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5                \\
 +
                                    x_1    & = & 3                          \\
 +
                                    x_2    & = & 2                        
 +
            \end{array}</math></big></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Detta säger inte emot att ekvationen <math> x^2 = 4\, </math> har <u>två</u> lösningar <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math>. Anldeningen till dessa två lösningar är dock INTE att <math> \sqrt{4} </math> kan vara <math> -2\, </math>, för det är fel: <math> \sqrt{4} \not= -2 </math>, utan <math> \sqrt{4} = +2 </math> och inget annat. Anldeningen till att ekvationen <math> x^2 = 4\, </math> ändå har <u>både</u> lösningen <math> x_1 = 2\, </math> <u>och</u> <math> x_2 = -2\, </math> är att båda dessa lösningar uppfyller ekvationen <math> x^2 = 4\, </math> dvs sätter man in dem i ekvationen blir vänsterled = högerled.
+
<big>  
 +
Uppgiften ovan ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter.
  
−
För att förstå detta måste vi tolka räkneoperationen <math> \sqrt{\;\;} </math> som en funktion, nämligen funktionen <math> y = \sqrt{x} </math>. Funktionsbegreppet samt notationen <math> y = f\,(x) </math> tillåter nämligen inte två olika y-värden till ett x-värde. Vi påminner om funktionens definition från Matte B-kursen:
+
Den är en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen:
  
−
<Big><strong><span style="color:blue">Repetition:</span></strong></Big>
+
== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
  
−
<big>
+
<div class="border-divblue">
−
::En funktion <math> y = f\,(x) </math> är en föreskrift (formel, graf eller tabell) som tilldelar varje x-värde ENDAST ett y-värde. </big>
+
Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-
  
−
Därför är <math> \sqrt{4} = 2 </math> och kan inte samtidigt vara <math> -2\, </math>.
+
garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = q
 +
          \end{align}} </math>
 +
</div>
  
−
<Big>Rotens två olika betydelser:</Big>
 
  
−
Rotbegreppet ger upphov till en betecknings- eller språkproblematik: Ordet ''rot'' har i matematiken två olika betydelser, en gång är det räkneoperationen rotdragning med rottecknet<math>\sqrt{\;\;}\;</math> som symbol, t.ex. roten ur 4 är 2 osv. Den andra betydelsen av rot är lösning. I ekvationssammanhang är ''rot'' synonym till en ekvations ''lösning''. T.ex. är <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> rötter dvs lösningar till ekvationen <math> x^2 = 4\, </math>. Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten. När vi nu i fortsättningen pratar om en rotekvations falska rötter menar vi falska lösningar.
+
<big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big>
  
−
== Rotekvationer ==
+
2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt [[Ekvationer#3) pq-formeln:|<b><span style="color:blue">pq-formeln</span></b>]] lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
  
−
[[Image:roten_av_x.jpg]]
+
Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi<span style="color:black">:</span>
  
−
Förekommer en ekvations obekant <math>x</math> under rotsymbolen<math>\sqrt{\;\;}\;</math> pratar man om en <span style="color:red">rotekvation</span>. Sådana ekvationer löser man genom att isolera roten (som en faktor) på en sida av ekvationen och kvadrera sedan båda leden för att eliminera roten. Men här uppstår ett fenomen som är typiskt för rotekvationer: Kvadreringen kan generera s.k. <span style="color:red">falska rötter</span> dvs falska lösningar och tillföra dem till ekvationen.
+
<math> \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p</math>
  
−
En rotekvation kan ha inga, en eller flera falska rötter. Vilka av de erhållna lösningarna är falska, kan man bara få reda på om man verifierar dem genom prövning, dvs man sätter in dem i den ursprungliga rotekvationen och prövar vilka som uppfyller rotekvationen. De falska rötterna är inte lösningar till rotekvationen utan till den kvadredade ekvationen och måste därför förkastas. Fenomenet med falska rötter beror på att kvadrering som är oundviklig för att eliminera<math>\sqrt{\;\;}\;</math> genererar falska rötter. Men kvadrering är en operation vars inversa (omvända) operation (rotdragning) inte är entydig: 2 kvarderat ger 4, men även -2 kvarderat ger 4.
 
  
−
Nedanstående exempel, rotekvationen <math> \sqrt{6 x + 10} + 1 = x </math> demonstrerar hur man kan lösa rotekvationer och identifiera samt eliminera falska rötter. I exemplet uppstår falska rötter så här:
+
Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.
  
−
Högerledet <math> (x-1)\, </math> på andra raden ger kvarderat <math> (x-1)^2\, </math>. Men även <math> -(x-1)\, </math> skulle ge kvarderat <math> (x-1)^2\, </math>. Däremot härstammer <math> -(x-1)\, </math> inte från den rotekvation vi vill lösa utan från en helt annan rotekvation, nämligen från <math> \sqrt{6 x + 10} - 1 = -x </math>. På så sätt smyger sig in en annan ekvations lösning i vår rotekvation. Därför kommer den att visa sig vara falsk.
+
Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi<span style="color:black">:</span>
  
−
==== Exempel ====
+
<math> \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q </math>
  
−
Första steget i att lösa en rotekvation är att skriva om den till en 2:a gradsekvation. För att göra det isolerar vi först roten på en sida av ekvationen genom att subtrahera 1 från bägge leden. Sedan kvadrerar vi bägge leden för att eliminera roten, för kvadrering är ju rotdragningens inversa operation. De tar ut varandra.
 
  
−
:::::<math>\begin{align} \sqrt{6 x + 10} + 1 & = x                          & | \;\; -1        \\
+
Omformningen kring <math> \color{Red} = </math> sker enligt [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">konjugatregeln</span></b>]] <math> (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 </math> om vi sätter <math> \displaystyle a = -\frac{p}{2} </math> och <math> \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>.
−
                        \sqrt{6 x + 10}    & = x - 1                      & | \;  (\;\;\;)^2 \\
+
−
                              6 x + 10      & = (x - 1)^2                                      \\
+
−
                              6 x + 10      & = x^2 - 2 x + 1  \qquad\qquad & |  - 10        \\
+
−
                              6 x          & = x^2 - 2 x - 9  \qquad\qquad & |  - 6 x        \\
+
−
                                          0 & = x^2 - 8 x - 9                                  \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
<Big><strong><span style="color:blue">Repetition:</span></strong></Big>
+
Detta bevisar Vietas andra formel.
−
----
+
−
::Normalformen <math>x^2+px+q=0\,</math> till en 2:a gradsekvation kan lösas med
+
  
−
::p-q formeln:
 
−
:::<math>x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
 
−
----
 
  
−
2:a gradsekvationen ovan (med <math> p = -8\, </math> och <math> q = -9\, </math>) löses med p-q formeln så här:
+
<big><b><span style="color:#931136">Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter</span></b></big>
  
−
::::::<math>\begin{align} x^2 - 8 x - 9 & = 0                    \\
+
Lösningarna <math> \, x_1\, </math> och <math> \, x_2\, </math> till 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, </math> är nollställena till 2:gradspolynomet<span style="color:black">:</span>
−
                                x_{1,2} & = 4 \pm \sqrt{16 + 9}  \\
+
−
                                x_{1,2} & = 4 \pm 5              \\
+
−
                                x_1    & = 9                    \\
+
−
                                x_2    & = - 1                  \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
OBS! Dessa två lösningar är inte nödvändigtvis lösningar till den ursprungliga rotekvationen utan till:
+
:::::::::<math> x^2 + p\,x + q </math>
  
−
:::::::<math> 6 x + 10 = (x - 1)^2\, </math>  
+
Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform <math> \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)</math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span>
  
−
Denna ekvation fick vi när vi kvadrerade rotekvationen ovan. Den ursprungliga rotekvationens lösningar är en del av denna kvadrerade ekvationen. Det kan däremot finnas lösningar här som inte löser rotekvationen, s.k. ''falska rötter''.
+
:::::::::<math> (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 </math>
  
−
För att få en intuitiv uppfattning om falska rötter-fenomenet ritar vi graferna till funktionerna <math> y_1 = 6 x + 10\, </math> (vänsterledet i ekvationen ovan) och <math> y_2 = (x - 1)^2\, </math> (högerledet) i samma koordinatsystem:
+
Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
  
−
[[Image:RotekvKvadrerad_Ny.jpg]]
+
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare<span style="color:black">:</span>
  
−
Ekvationens lösningar kan avläsas från grafernas skärningspunkter vid <math> x_1 = 9\, </math> och <math> x_2 = -1\, </math>.
+
::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 </math>
  
−
Om de också är lösningar till rotekvationen måste undersökas algebraiskt:
+
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet <math> x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 </math> (högerled) och polynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> (vänsterled) ger:
  
−
==== Den falska roten ====
+
:::::::::<math> x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q </math>
  
−
Andra steget i att lösa rotekvationen
+
Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Polynom i faktorform</span></b>]] och/eller [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#J.C3.A4mf.C3.B6relse_av_koefficienter|<b><span style="color:blue">Jämförelse av koefficienter</span></b>]].
  
−
:::::<math> \sqrt{6 x + 10} + 1 = x </math>
 
  
−
är att identifiera falska rötter (lösningar). Observera att detta steg är ett obligatoriskt moment vid lösningen av rotekvationer. Vilken av lösningarna ovan är den falska roten? Eller är kanske båda falska eller ingen av dem? Teoretiskt kan alla, några eller ingen av rotekvationens rötter vara falska. Enda kriteriet är om de uppfyller den ursprungliga rotekvationen eller ej. Därför måste vi pröva vi båda.
+
----
 +
Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
 +
----
 +
</big>
  
−
Först prövar vi roten <math> x_1 = 9\, </math>:
 
  
−
Vänsterled (VL): <math> \sqrt{6 \cdot 9 + 10} + 1 = \sqrt{54 + 10} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9 </math>
+
== <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> ==
  
−
Högerled (HL):   <math> \displaystyle 9 </math>
+
<big>
 +
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[Ekvationer#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
 +
</big>
  
−
VL = HL <math> \Rightarrow\; x_1 = 9 </math> är en '''sann rot'''.
 
  
−
Sedan prövar vi roten <math> x_2 = -1\, </math>:
+
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
  
−
Vänsterled (VL): <math> \sqrt{6 \cdot (-1) + 10} + 1 = \sqrt{-6 + 10} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3 </math>
+
<big>
 +
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
 +
</big>
  
−
Högerled (HL):   <math> \displaystyle -1 </math>
+
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
  
−
VL <math> \not= </math> HL <math> \Rightarrow\; x_2 = -1 </math> är en '''falsk rot'''.
+
<big>
 +
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
  
−
Slutligen kan vi konstatera att vår rotekvation
+
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-7) = 7  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = 10
 +
        \end{align}</math>
  
−
::::<math> \sqrt{6 x + 10} \; + \; 1 \; = \; x </math>
+
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
  
−
har den enda lösningen:
+
Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>  eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.
  
−
:::::::::<math> x = 9\, </math>
+
Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>
  
−
För att även här få en intuitiv uppfattning om lösningarna till den den ursprungliga rotekvationen ritar vi graferna till funktionerna <math> y_1 = \sqrt{6 x + 10} \;\;\big(</math>samma som <math> y_1 = (6 x + 10)^{1 \over 2} </math> enligt [[1.5_Potenser#Potenslagarna|<span style="color:blue">potenslagarna</span>]] <math>\big)</math> och <math> y_2 = x - 1\, </math> i samma koordinatsystem:
+
:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
  
−
[[Image: Rotekvation_Ny.jpg]]
+
:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
  
−
Rotekvationens lösning kan avläsas från grafernas skärningspunkt vid <math> x = 9\, </math>.
+
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>
  
−
Rotekvationer kan även lösas med andra metoder som vi inte tar upp här. En av dem är <span style="color:red">substitution</span>, även kallad <span style="color:red">variabelbyte</span>. Från Matte B-kursens linjära ekvationssystem vet vi att substitution betyder ersättning av en variabel med ett uttryck av en annan variabel. I [[1.1 Övning 7|övning 7]] finns ett exempel på denna metod för rotekvationer. Substitution används nästan alltid när man vill lösa 4:e gradsekvationer som vi behandlar nu.
+
:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
  
−
== 4:e gradsekvationer med jämna x-potenser ==
+
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
−
Inledningsvis sa vi att vissa specialfall av högre gradsekvationer går att lösa algebraiskt. Vi ska nu ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Denna speciella typ utmärker sig genom att obekanten <math> x </math> endast förekommer i potenser med jämna exponenter dvs med exponenterna 4, 2 och 0. Dvs ekvationen saknar helt och hållet termer med udda x-potenser. Följande är ett exempel på en sådan 4:e gradsekvation med jämna x-potenser:
+
</big></div>
  
−
::::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>
 
  
−
En 4:e gradsekvation med jämna x-potenser kan alltid skrivas om till en 2:a gradsekvation genom en enkel substitution dvs ett variabelbyte. Vi inför en ny variabel z som vi definierar som:
+
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 +
<big>
 +
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
 +
</big>
  
−
::::::::<math> \displaystyle z = x^2 </math>  
+
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
  
−
Läs nu denna substitution från höger, så här: Ersätt <math> x^2 </math> med <math> z </math> dvs sätt in i 4:e gradsekvationen ovan <math> z </math> istället för <math> x^2 </math>. Denna substitution överför 4:e gradsekvationen till en 2:a gradsekvation:
+
<big>
 +
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
  
−
:::::<math>\begin{align} (x^2)^2 - 6\,(x^2) - 27 & = 0 \\  
+
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-8) = 8  \\
−
                          z^2 - 6\,z - 27        & = 0 \\
+
                        x_1 \cdot x_2 & = 16
−
    \end{align}</math>  
+
        \end{align}</math>
  
−
Självklart är detta en ny ekvation med den nya obekanten z. Men den är relaterad till vår ursprungliga 4:e gradsekvation via substitutionen <math> z = x^2 </math> som i sin tur kan anses som en liten ekvation. Dvs 2:a gradsekvationens z-lösningar insatta i substitutionsekvationen ger x-lösningar till den ursprungliga 4:e gradsekvationen. Därför behöver vi bara lösa den nya 2:a gradsekvationen och sätta in dess z-lösningar i substitutionen för att få x-lösningar för den ursprungliga 4:e gradsekvationen. Så här går det till:
+
Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.  
  
−
::::::<math>\begin{align} z^2 - 6\,z - 27 & = 0                    \\
+
Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>
−
                                  z_{1,2} & = 3 \pm \sqrt{9 + 27}  \\
+
−
                                  z_{1,2} & = 3 \pm 6              \\
+
−
                                  z_1    & = 9                    \\
+
−
                                  z_2    & = - 3                  \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
Övergången från z till x gör vi genom att först sätta in lösningen <math> z_1 = 9 </math> i substitutionen <math> z = x^2 </math>:
+
:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>
  
−
:::::::<math> \displaystyle z = x^2 = 9 </math>  
+
Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
 +
</big></div>
  
−
Nu drar vi roten ur båda leden i ekvationen <math> x^2 = 9 </math> och får lösningarna:
 
  
−
:::::::<math> x_{1,2} = \pm 3 </math>
+
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> ==
 +
<big>
 +
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:
  
−
Sedan görs samma sak med lösningen <math> z_2 = -3 </math>. Insatt i substitutionen <math> z = x^2 </math> ger den:
+
:::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>
  
−
:::::::<math> \displaystyle z = x^2 = -3 </math>  
+
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
  
−
Men ekvationen <math> x^2 = -3 </math> har inga lösningar pga att roten <math> \sqrt{-3} </math> ur ett negativt tal inte är definierad.
+
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-13) = 13  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = 2
 +
        \end{align}</math>
  
−
Slutligen kan vi sammanfatta och konstatera att vår 4:e gradsekvation
+
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer.
  
−
:::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>
+
Med p-q formeln får man (se lösningen till [[1.3_Lösning_10b|övning 10 b)]])<span style="color:black">:</span>
  
−
har de två lösningarna:
+
:::<math>\begin{align}            x_1    & = 12,84428877                \\
 +
                                  x_2    & =  0,15571123                \\
 +
        \end{align}</math>
  
−
:::::<math>\begin{align} x_1 & = 3    \\
+
I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella<span style="color:black">:</span>
−
                        x_2 & = - 3  \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
En prövning bekräftar detta resultat.
+
:::<math> \begin{align} 12,84428877  +    0,15571123 & = 13  \\
 +
                        12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2
 +
          \end{align}</math>
 +
</big></div>
 +
</small>
  
−
Så här ser grafen till funktionen <math> y = x^4 - 6\,x^2 - 27 </math> ut vars nollställen överensstämmer med våra lösningar:
 
  
−
[[Image: 4egradsfkt.jpg]]
+
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=V8I2_zgNRHI
  
−
== Internetlänkar ==
 
 
http://www.matteguiden.se/matte-c/polynomfunktioner/andra-typer-av-ekvationer/#Rotekvationer
 
http://www.matteguiden.se/matte-c/polynomfunktioner/andra-typer-av-ekvationer/#Rotekvationer
  
 
http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Rotekvation
 
http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Rotekvation
−
 
−
http://www.his.se/PageFiles/28876/Rotekvationer.ppt
 
−
<!-- [[File:Rotekvationer.ppt]] -->
 
  
 
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/3.2_Rotekvationer
 
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/3.2_Rotekvationer
Rad 230: Rad 274:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2010-2012 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
+
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 16 maj 2020 kl. 13.20

        <<  Repetitioner          Genomgång          Rotekv.- & högre gradsekvationer          Övningar Rotekv. & högre ...          1:a avsnitt: Polynom  >>      


Olika typer av ekvationer

Fig111.gif \( \qquad \) Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet.

I Matte 1-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ:

Linjära ekvationer:

\( \qquad\qquad\quad 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \)

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x\, \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x\, \) är ju samma som \( x^1\, \). Högre \( \, x\)-potenser förekommer inte i ekvationen.

I Matte 2-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:

Andragradsekvationer: \( \qquad\qquad x^2 + 6\,x - 16 = 0 \)

Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten \( x\, \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som \( x^2\, \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.

Fyra metoder för lösning av andragradsekvationer

1) Nollproduktmeoden: \( \quad (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 \;\; \) och \( \; x_2 = 4 \).

2) Kvadratrotsmetoden: \( \quad x^2 - 16 \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \, = \, 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 4 \;\; \) och \( \; x_2 = -4 \).

3) pq-formeln:

Normalformen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) till en 2:a gradsekvation kan lösas med pq-formeln:

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)

En annan variant är den s.k. abc-formeln till 2:a gradsekvationen \(a\,x^2 + b\,x + c = 0\,\) som kan skrivas om till normalform genom division med \( \, a \).

4) Vietas formler. Vi behandlar här denna metod i detalj:

Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen

Den franske matematikern François Viète var en av de första som på \(1500\)-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.

Uppgift:

Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är \( \, x_1 = 2 \, \) och \( \, x_2 = 3 \).

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( \, x_2\,\) av 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) gäller

Vietas formler:

\( \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \) \( \quad {\rm Dvs:} \quad \) \( \begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\ 2 \cdot 3 & = 6 = q \end{align} \) \( \quad {\rm och:} \quad \) \( \begin{align} p & = -5 \\ q & = 6 \end{align} \)

Därmed blir 2:a gradsekvationen:

\[ \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 \]
\( \qquad \) Kontroll och jämförelse med p-q-formeln:
\[\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 2 \end{array}\]

Uppgiften ovan ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter.

Den är en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen:

Vietas formler

Om 2:gradsekvationen \( \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; \) har lösnin-

garna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller: \( \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \)


Bevis med p-q formeln

2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0\,\) har enligt pq-formeln lösningarna \( \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)

Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:

\( \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p\)


Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.

Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:

\( \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q \)


Omformningen kring \( \color{Red} = \) sker enligt konjugatregeln \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \) om vi sätter \( \displaystyle a = -\frac{p}{2} \) och \( \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\).

Detta bevisar Vietas andra formel.


Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter

Lösningarna \( \, x_1\, \) och \( \, x_2\, \) till 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, \) är nollställena till 2:gradspolynomet:

\[ x^2 + p\,x + q \]

Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform \( \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 \]

Därav följer: \( \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom Polynom i faktorform och/eller Jämförelse av koefficienter.


Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än \(2\) och formuleras för polynom av grad \(n\).


Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)

Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.


Exempel 1:

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 \)

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) eftersom \( \, 2 + 5 = 7\, \) och \( \, 2 \cdot 5 = 10 \).

Kontrollen bekräftar resultatet:

\[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]
\[ 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \]

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det:

\[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.


Exempel 2

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 \)

Lösning:

Vietas formler ger:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 4\,\) och \( x_2 = 4\,\) eftersom \( 4 + 4 = 8\,\) och \( 4 \cdot 4 = 16 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 8\,x + 16 \) faktoriseras så här:

\[ x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 \]

Den dubbla förekomsten av faktorn \( (x-4)\,\) ger roten, dvs lösningen \( x = 4\,\), dess namn dubbelrot.


Nackdelen med Vieta

En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:

\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]

Vietas formler ger:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]

Det är inte så enkelt att få fram lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer.

Med p-q formeln får man (se lösningen till övning 10 b)):

\[\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}\]

I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella:

\[ \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}\]


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=V8I2_zgNRHI

http://www.matteguiden.se/matte-c/polynomfunktioner/andra-typer-av-ekvationer/#Rotekvationer

http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Rotekvation

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/3.2_Rotekvationer

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.2_Rotekvationer





Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.
Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=Ekvationer&oldid=28874"