Skillnad mellan versioner av "Ekvationer"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Exempel)
m
 
(346 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.1 Ekvationer|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[Repetitioner från Matte 2| <<&nbsp;&nbsp;Repetitioner]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.1 Övningar till Ekvationer|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[Ekvationer|Genomgång]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Rotekvationer och högre gradsekvationer|Rotekv.- & högre gradsekvationer]]}}
 +
{{Not selected tab|[[Övningar till Rotekvationer och högre gradsekvationer|Övningar Rotekv. & högre ...]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.1 Polynom|1:a avsnitt: Polynom&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
== Vilken typ av ekvation? ==
+
== <b><span style="color:#931136">Olika typer av ekvationer</span></b> ==
−
[[Image:Fig110.jpg]]
+
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
  
−
Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet. I Matte A-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ:
+
<table>
 +
<tr>
 +
  <td> [[Image:Fig111.gif]] </td>
 +
  <td> <math> \qquad </math> </td>
 +
  <td> Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet.
  
−
<math> 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 </math>
+
I Matte 1-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ:
  
−
Sådana ekvationer kallas [[linjära]] eller [[1:a gradsekvationer]] eftersom obekanten <math> x </math> förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. <math> x </math> är ju samma som <math> x^1 </math>. Högre x-potenser förekommer inte. I Matte B-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av typ:
+
'''Linjära ekvationer:'''
  
−
<math> x^2 + 6\,x - 16 = 0 </math>  
+
<math> \qquad\qquad\quad 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 </math>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
Sådana ekvationer kallas <b><span style="color:red">linjära</span></b> eller <b><span style="color:red">1:a gradsekvationer</span></b> eftersom obekanten <math> x\, </math> förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. <math> x\, </math> är ju samma som <math> x^1\, </math>. Högre <math> \, x</math>-potenser förekommer inte i ekvationen.
  
−
Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt [[kvadratiska]] eller [[2:a gradsekvationer]] därför att obekanten <math> x </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som <math> x^2 </math>. Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.
+
I Matte 2-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:
  
−
Den generella lösningen av 3:e- och högre gradsekvationer är så pass svår att den inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. omöjligt att med algebraiska operationer dvs <math> + </math>, <math> - </math>, <math> \cdot </math>, <math> / </math> och<math>\sqrt{ }\;</math> lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form, vilket bevisades av den norske matematikern [http://sv.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abel Niels Henrik Abel] så sent som 1824. För sådana ekvationer använder man i praktiken [http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_analysis numeriska metoder] som man ofta programmerar och låter datorn göra jobbet. Vissa specialfall däremot går att lösa algebraiskt. Vi kommer att ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av en helt ny typ:
+
'''Andragradsekvationer:''' <math> \qquad\qquad x^2 + 6\,x - 16 = 0 </math>  
  
−
<math> \sqrt{6 x + 10} + 1 = x </math>  
+
Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt <b><span style="color:red">kvadratiska</span></b> eller <b><span style="color:red">2:a gradsekvationer</span></b> därför att obekanten <math> x\, </math> förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som <math> x^2\, </math>. Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.
  
−
Sådana ekvationer kallas [[rotekvationer]]. De är varken linjära eller kvadratiska. Med rot menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.
+
==== <b><span style="color:#931136">Fyra metoder för lösning av andragradsekvationer</span></b> ====
  
−
== Rotekvationer ==
+
[[1.2_Faktorisering_av_polynom#Nollproduktmetoden|<span style="color:#931136">1) Nollproduktmeoden</span>]]<span style="color:black">:</span> <math> \quad (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 \;\; </math> och <math> \; x_2 = 4 </math>.
−
[[Image:roten_av_x.jpg]]
+
  
−
Förekommer en ekvations obekant <math>x</math> under rotsymbolen<math>\sqrt{ }\;</math> pratar man om en [[rotekvation]]. Sådana ekvationer löser man genom att isolera roten (eller ha den som en faktor i en produkt, inte i en summa) på en sida av ekvationen och kvadrera sedan båda leden för att eliminera roten. Kvadrering är rotdragningens inversa (omvända) operation. Därför tar de ut varandra. Men här uppstår ett fenomen som är typiskt för rotekvationer: Kvadreringen kan generera s.k. [[falska rötter]] och tillföra dem till ekvationen. Begreppet ''falska rötter'' ger upphov till ett beteckningsproblem: ''rot'' har i matematiken två olika betydelser: en gång betyder det rotdragning med rottecknet<math>\sqrt{ }\;</math> som symbol, t.ex. roten ur 9 är 3 osv. En annan gång är ''rot'' synonym för en ekvations ''lösning''. När man pratar om falska rötter menar man falska lösningar. En rotekvation kan ha inga, en eller flera falska rötter. Vilka av de erhållna lösningarna är falska, kan man bara få reda på om man verifierar dem i den ursprungliga rotekvationen: Man sätter in dem i den ursprungliga rotekvationen och prövar vilka som är rätta och vilka som är falska. De falska rötterna är inte lösningar till rotekvationen utan till den kvadredade ekvationen och måste därför förkastas.  
+
<span style="color:#931136">2) Kvadratrotsmetoden:</span> <math> \quad x^2 - 16 \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \, = \, 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 4 \;\; </math> och <math> \; x_2 = -4 </math>.  
  
−
Fenomenet med falska rötter beror på att kvadrering som är oundviklig för att eliminera<math>\sqrt{ }\;</math> genererar falska rötter. Men kvadrering är en operation vars inversa (omvända) operation (rotdragning) inte är entydig: 2 kvarderat ger 4, men även -2 kvarderat ger 4. I exemplet nedan ger <math> (x-1) </math> kvarderat <math> (x-1)^2 </math>, men även <math> -(x-1) </math> kvarderat ger <math> (x-1)^2 </math>. Men <math> -(x-1) </math> härstammer inte från den rotekvation vi vill lösa utan från en helt annan ekvation. På så sätt smyger sig in en annan ekvations rot i vår ekvation. Därför är den falsk.
+
<span style="color:#931136">3) pq-formeln:</span>
 +
----
 +
::<b><span style="color:red">Normalformen</span></b> <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> till en 2:a gradsekvation kan lösas med pq-formeln<span style="color:black">:</span>  
  
−
I detta sammanhang är det viktigt att komma ihåg att rotfunktionen alltid är definierad som positiv, för att undvika tvetydighet. T.ex. <math> \qquad \sqrt{4}\;= 2\;, \quad {\rm inte}\;-2 </math>
+
<math> \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
  
−
Funktionsbegreppet - och rotdragning är en funktion - tillåter inte två olika funktionsvärden till ett argument: "En funktion y = f(x) är en regel som tilldelar varje x-värde ENDAST ett y-värde." (se Matte B-kursen). Om du inte ser kopplingen till falska rötter bli inte orolig. Den är inte så lätt att förstå. Däremot visar nedanstående exempel hur du rent praktiskt kan identifiera falska rötter och eliminera dem. Om du går igenom exemplet kan du också bättre förstå den teoretiska förklaringen ovan.
+
----
 +
En annan variant är den s.k. abc-formeln till 2:a gradsekvationen <math>a\,x^2 + b\,x + c = 0\,</math> som kan skrivas om till normalform genom division med <math> \, a </math>.
  
−
[[Image:Fig111.gif]]
+
<span style="color:#931136">4) Vietas formler</span>. Vi behandlar här denna metod i detalj:
 +
<small>
 +
== <b><span style="color:#931136">Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen</span></b> ==
 +
<big>
 +
Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te <b><span style="color:blue">François Viète</span></b>] var en av de första som på <math>1500</math>-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.
  
−
== Exempel ==
+
==== <b><span style="color:#931136">Uppgift:</span></b> ====
−
Här följer ett exempel på hur man löser rotekvationen ovan genom att skriva om den till en 2:a gradsekvation:
+
Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är <math> \, x_1 = 2 \, </math> och <math> \, x_2 = 3 </math>.
  
−
:::::<math>\begin{align} \sqrt{6 x + 10} + 1 & = x                          & | \;\; -1        \\
+
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
−
                        \sqrt{6 x + 10}    & = x - 1                      & | \;  (\;\;\;)^2 \\
+
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> \, x_2\,</math> av 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0 \, </math> gäller
−
                              6 x + 10      & = (x - 1)^2                                     \\
+
</big>
−
                              6 x + 10      & = x^2 - 2 x + 1  \qquad\qquad & |  - 10        \\
+
−
                              6 x          & = x^2 - 2 x - 9  \qquad\qquad & |  - 6 x        \\
+
−
                                          0 & = x^2 - 8 x - 9                                  \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
Normalformen till en 2:a gradsekvation <math>x^2+px+q=0</math> har lösningen:  
+
<table>
−
:<math>x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
+
<tr> <td><div class="ovnA">
−
Med denna lösningsformel, även kallad pq-formeln, löses 2:a gradsekvationen ovan (med <math> p = -8 </math> och <math> q = -9 </math>) så här:
+
<b><span style="color:blue">Vietas formler:</span></b>
 +
<table>
 +
<tr>
 +
<td><math> \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = q
 +
          \end{align}} </math></td>
 +
<td><math> \quad {\rm Dvs:} \quad </math></td>
 +
<td><math> \begin{align} 2   +  3 & = 5 = -p  \\
 +
                        2 \cdot 3 & = 6  = q
 +
          \end{align} </math></td>
 +
<td><math> \quad {\rm och:} \quad </math></td>
 +
<td><math> \begin{align} p & = -5  \\
 +
                        q & = 6
 +
          \end{align} </math></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
::::::<math>\begin{align} x^2 - 8 x - 9 & = 0                    \\
+
Därmed blir 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>  
−
                                x_{1,2} & = 4 \pm \sqrt{16 + 9}  \\
+
−
                                x_{1,2} & = 4 \pm 5              \\
+
−
                                x_1    & = 9                    \\
+
−
                                x_2    & = - 1                  \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
Dessa två lösningar är lösningar till den kvadrerade ekvationen <math> 6 x + 10 = (x - 1)^2 </math> vilket bekräftas grafiskt.
+
::<math> \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 </math>
 +
</div></td>
 +
<td><math> \qquad </math></td>
 +
<td><big>Kontroll och jämförelse med p-q-formeln<span style="color:black">:</span>
  
−
Ritar man graferna till funktionerna <math> y1 = 6 x + 10 </math> (blå linje) och <math> y2 = (x - 1)^2 </math> (grön parabel) i samma koordinatsystem (bilden nedan) kan man avläsa lösningarna från grafernas skärningspunkter vid <math> x_1 = 9 </math> och <math> x_2 = -1 </math>:
+
:::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0                          \\
 +
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6}  \\
 +
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
 +
                                    x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5                \\
 +
                                    x_1    & = & 3                          \\
 +
                                    x_2    & = & 2                        
 +
            \end{array}</math></big></td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
[[Image:RotekvKvadrerad.jpg]]
+
<big>
 +
Uppgiften ovan ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter.
  
−
Om de också är lösningar till rotekvationen måste undersökas algebraiskt:
+
Den är en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen:
  
−
== Den falska roten ==
+
== <small><b><span style="color:#931136">Vietas formler</span></b></small> ==
−
Vilken av lösningarna ovan är den falska roten? Eller är kanske båda falska eller ingen av dem? Teoretiskt kan alla, några eller ingen av rotekvationens rötter (lösningar) vara falska. Enda kriteriet är om de uppfyller den ursprungliga rotekvationen eller ej. Därför prövar vi båda, först <math> x_1 = 9 </math>:
+
  
−
Vänsterled (VL): <math> \sqrt{6 \cdot 9 + 10} + 1 = \sqrt{54 + 10} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9 </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
Om 2:gradsekvationen <math> \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; </math> har lösnin-
  
−
Högerled (HL):   <math> \displaystyle 9 </math>
+
garna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \boxed{\begin{align} x_1  +  x_2 & = -p  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = q
 +
          \end{align}} </math>
 +
</div>
  
−
VL = HL <math> \Rightarrow\; x_1 = 9 </math> är en sann rot.
 
  
−
Sedan prövar vi roten <math> x_2 = -1 </math>:
+
<big><b><span style="color:#931136">Bevis med p-q formeln</span></b></big>
  
−
Vänsterled (VL): <math> \sqrt{6 \cdot (-1) + 10} + 1 = \sqrt{-6 + 10} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3 </math>
+
2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q = 0\,</math> har enligt [[Ekvationer#3) pq-formeln:|<b><span style="color:blue">pq-formeln</span></b>]] lösningarna <math> \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>
  
−
Högerled (HL):  <math> \displaystyle -1 </math>
+
Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi<span style="color:black">:</span>
  
−
VL <math> \not= </math> HL <math> \Rightarrow\; x_2 = -1 </math> är en falsk rot.
+
<math> \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p</math>
  
−
Slutligen kan vi konstatera att vår rotekvation
 
  
−
::::<math> \sqrt{6 x + 10} \; + \; 1 \; = \; x </math>
+
Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.
  
−
har den enda lösningen:
+
Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi<span style="color:black">:</span>
  
−
:::::::::<math> \displaystyle x = 9 </math>
+
<math> \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q </math>
  
−
Ritar man graferna till funktionerna <math> y1 = \sqrt{6 x + 10} </math> (blå kurva) och <math> y2 = x - 1 </math> (grön linje) i samma koordinatsystem (bilden nedan) kan man avläsa rotekvationens lösning från grafernas skärningspunkt vid <math> x = 9 </math>:
 
  
−
[[Image: Rotekvation.jpg]]
+
Omformningen kring <math> \color{Red} = </math> sker enligt [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">konjugatregeln</span></b>]] <math> (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 </math> om vi sätter <math> \displaystyle a = -\frac{p}{2} </math> och <math> \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}</math>.
  
−
Rotekvationer kan även lösas med andra metoder som vi inte tar upp här. En av dem är [[substitution]]. Från Matte B-kursens linjära ekvationssystem vet vi att substitution betyder ersättning av en variabel med ett uttryck av en annan variabel. I övning 7 finns ett exempel på denna metod. Dessutom används substitution även i nästa avsnitt som behandlar en annan typ av ekvation.
+
Detta bevisar Vietas andra formel.
  
−
== 4:e gradsekvationer med jämna x-potenser ==
 
−
Inledningsvis sa vi att vissa specialfall av högre gradsekvationer går att lösa algebraiskt. Vi ska nu ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Denna speciella typ utmärker sig genom att obekanten <math> x </math> endast förekommer i potenser med jämna exponenter dvs med exponenterna 4, 2 och 0. Dvs ekvationen saknar helt och hållet termer med udda x-potenser. Följande är ett exempel på en sådan 4:e gradsekvation med jämna x-potenser:
 
  
−
::::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>  
+
<big><b><span style="color:#931136">Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter</span></b></big>
  
−
En 4:e gradsekvation med jämna x-potenser kan alltid skrivas om till en 2:a gradsekvation genom en enkel substitution (ersättning, se ovan). Vi inför en ny variabel z som vi definierar som:
+
Lösningarna <math> \, x_1\, </math> och <math> \, x_2\, </math> till 2:a gradsekvationen <math> \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, </math> är nollställena till 2:gradspolynomet<span style="color:black">:</span>
  
−
::::::::<math> \displaystyle z = x^2 </math>  
+
:::::::::<math> x^2 + p\,x + q </math>
  
−
Läs nu denna substitution från höger, så här: Ersätt <math> x^2 </math> med <math> z </math> dvs sätt in i 4:e gradsekvationen ovan <math> z </math> istället för <math> x^2 </math>. Denna substitution överför 4:e gradsekvationen till en 2:a gradsekvation:
+
Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform <math> \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)</math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller<span style="color:black">:</span>
  
−
:::::<math>\begin{align} (x^2)^2 - 6\,(x^2) - 27 & = 0 \\
+
:::::::::<math> (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 </math>
−
                          z^2 - 6\,z - 27        & = 0 \\
+
−
    \end{align}</math>  
+
  
−
Självklart är detta en ny ekvation med den nya obekanten z. Men den är relaterad till vår ursprungliga 4:e gradsekvation via substitutionen <math> z = x^2 </math> som i sin tur kan anses som en liten ekvation. Dvs 2:a gradsekvationens z-lösningar insatta i substitutionsekvationen ger x-lösningar till den ursprungliga 4:e gradsekvationen. Därför behöver vi bara lösa den nya 2:a gradsekvationen och sätta in dess z-lösningar i substitutionen för att få x-lösningar för den ursprungliga 4:e gradsekvationen. Så här går det till:
+
Därav följer<span style="color:black">:</span> <math> \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
  
−
::::::<math>\begin{align} z^2 - 6\,z - 27 & = 0                    \\
+
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare<span style="color:black">:</span>
−
                                  z_{1,2} & = 3 \pm \sqrt{9 + 27}  \\
+
−
                                  z_{1,2} & = 3 \pm 6              \\
+
−
                                  z_1    & = 9                    \\
+
−
                                  z_2    & = - 3                  \\
+
−
    \end{align}</math>
+
  
−
Övergången från z till x gör vi genom att först sätta in lösningen <math> z_1 = 9 </math> i substitutionen <math> z = x^2 </math>:
+
::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 </math>
  
−
:::::::<math> \displaystyle z = x^2 = 9 </math>  
+
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet <math> x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 </math> (högerled) och polynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> (vänsterled) ger:
  
−
Nu drar vi roten ur båda leden i ekvationen <math> x^2 = 9 </math> och får lösningarna:
+
:::::::::<math> x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q </math>
  
−
:::::::<math> x_{1,2} = \pm 3 </math>
+
Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Polynom i faktorform</span></b>]] och/eller [[1.1_Fördjupning_till_Polynom#J.C3.A4mf.C3.B6relse_av_koefficienter|<b><span style="color:blue">Jämförelse av koefficienter</span></b>]].
  
−
Sedan görs samma sak med lösningen <math> z_2 = -3 </math>. Insatt i substitutionen <math> z = x^2 </math> ger den:
 
  
−
:::::::<math> \displaystyle z = x^2 = -3 </math>  
+
----
 +
Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än <math>2</math> och formuleras för polynom av grad <math>n</math>.
 +
----
 +
</big>
  
−
Men ekvationen <math> x^2 = -3 </math> har inga lösningar pga att roten <math> \sqrt{-3} </math> ur ett negativt tal inte är definierad.
 
  
−
Slutligen kan vi sammanfatta och konstatera att vår 4:e gradsekvation
+
== <b><span style="color:#931136">Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)</span></b> ==
  
−
:::::<math> x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 </math>
+
<big>
 +
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om [[Ekvationer#Nackdelen_med_Vieta|<b><span style="color:blue">nackdelen med Vietas formler</span></b>]].
 +
</big>
  
−
har de två lösningarna:
 
  
−
:::::<math>\begin{align} x_1 & = 3    \\
+
<div class="exempel">
−
                        x_2 & = - 3  \\
+
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1:</span></b> ==
−
    \end{align}</math>
+
  
−
En prövning bekräftar detta resultat.
+
<big>
 +
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 </math>
 +
</big>
 +
 
 +
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 +
 
 +
<big>
 +
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-7) = 7  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = 10
 +
        \end{align}</math>
 +
 
 +
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.
 +
 
 +
Med lite provande hittar man <math> \, 2 \, </math> och <math> \, 5 \, </math>  eftersom <math> \, 2 + 5 = 7\, </math> och <math> \, 2 \cdot 5 = 10 </math>.
 +
 
 +
Kontrollen bekräftar resultatet<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
 +
 
 +
:::<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
 +
 
 +
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
 +
 
 +
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2</span></b> ==
 +
<big>
 +
Lös ekvationen <math> \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 </math>
 +
</big>
 +
 
 +
==== <b><span style="color:#931136">Lösning:</span></b> ====
 +
 
 +
<big>
 +
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-8) = 8  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = 16
 +
        \end{align}</math>
 +
 
 +
Man hittar lösningarna <math> x_1 = 4\,</math> och <math> x_2 = 4\,</math> eftersom <math> 4 + 4 = 8\,</math> och <math> 4 \cdot 4 = 16 </math>.
 +
 
 +
Därför kan polynomet <math> x^2 - 8\,x + 16 </math> faktoriseras så här<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 </math>
 +
 
 +
Den dubbla förekomsten av faktorn <math> (x-4)\,</math> ger roten, dvs lösningen <math> x = 4\,</math>, dess namn [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">dubbelrot</span></b>]].
 +
</big></div>
 +
 
 +
 
 +
<div class="exempel">
 +
== <b><span style="color:#931136">Nackdelen med Vieta</span></b> ==
 +
<big>
 +
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:
 +
 
 +
:::<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>
 +
 
 +
Vietas formler ger<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> \begin{align} x_1  +  x_2 & = -(-13) = 13  \\
 +
                        x_1 \cdot x_2 & = 2
 +
        \end{align}</math>
 +
 
 +
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer.
 +
 
 +
Med p-q formeln får man (se lösningen till [[1.3_Lösning_10b|övning 10 b)]])<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math>\begin{align}            x_1    & = 12,84428877                \\
 +
                                  x_2    & =  0,15571123                \\
 +
        \end{align}</math>
 +
 
 +
I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella<span style="color:black">:</span>
 +
 
 +
:::<math> \begin{align} 12,84428877  +    0,15571123 & = 13  \\
 +
                        12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2
 +
          \end{align}</math>
 +
</big></div>
 +
</small>
 +
 
 +
 
 +
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=V8I2_zgNRHI
  
−
== Internetlänkar ==
 
 
http://www.matteguiden.se/matte-c/polynomfunktioner/andra-typer-av-ekvationer/#Rotekvationer
 
http://www.matteguiden.se/matte-c/polynomfunktioner/andra-typer-av-ekvationer/#Rotekvationer
  
 
http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Rotekvation
 
http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Rotekvation
−
 
−
http://www.his.se/PageFiles/28876/Rotekvationer.ppt
 
−
<!-- [[File:Rotekvationer.ppt]] -->
 
  
 
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/3.2_Rotekvationer
 
http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/3.2_Rotekvationer
  
 
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.2_Rotekvationer
 
http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.2_Rotekvationer
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 16 maj 2020 kl. 13.20

        <<  Repetitioner          Genomgång          Rotekv.- & högre gradsekvationer          Övningar Rotekv. & högre ...          1:a avsnitt: Polynom  >>      


Olika typer av ekvationer

Fig111.gif \( \qquad \) Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet.

I Matte 1-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av följande typ:

Linjära ekvationer:

\( \qquad\qquad\quad 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \)

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x\, \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x\, \) är ju samma som \( x^1\, \). Högre \( \, x\)-potenser förekommer inte i ekvationen.

I Matte 2-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av följande typ:

Andragradsekvationer: \( \qquad\qquad x^2 + 6\,x - 16 = 0 \)

Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten \( x\, \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som \( x^2\, \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.

Fyra metoder för lösning av andragradsekvationer

1) Nollproduktmeoden: \( \quad (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 3 \;\; \) och \( \; x_2 = 4 \).

2) Kvadratrotsmetoden: \( \quad x^2 - 16 \, = \, 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \, = \, 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 4 \;\; \) och \( \; x_2 = -4 \).

3) pq-formeln:

Normalformen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) till en 2:a gradsekvation kan lösas med pq-formeln:

\( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)

En annan variant är den s.k. abc-formeln till 2:a gradsekvationen \(a\,x^2 + b\,x + c = 0\,\) som kan skrivas om till normalform genom division med \( \, a \).

4) Vietas formler. Vi behandlar här denna metod i detalj:

Samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen

Den franske matematikern François Viète var en av de första som på \(1500\)-talet såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna efter honom.

Uppgift:

Ställ upp en 2:a gradsekvation vars lösningar är \( \, x_1 = 2 \, \) och \( \, x_2 = 3 \).

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( \, x_2\,\) av 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0 \, \) gäller

Vietas formler:

\( \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \) \( \quad {\rm Dvs:} \quad \) \( \begin{align} 2 + 3 & = 5 = -p \\ 2 \cdot 3 & = 6 = q \end{align} \) \( \quad {\rm och:} \quad \) \( \begin{align} p & = -5 \\ q & = 6 \end{align} \)

Därmed blir 2:a gradsekvationen:

\[ \; x^2 - 5\,x + 6 \, = \, 0 \]
\( \qquad \) Kontroll och jämförelse med p-q-formeln:
\[\begin{array}{rcl} x^2 - 5\,x + 6 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{6,25 - 6} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 2,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 2 \end{array}\]

Uppgiften ovan ger oss ett praktiskt verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter.

Den är en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen:

Vietas formler

Om 2:gradsekvationen \( \; x^2 + p\,x + q \; = \; 0 \; \) har lösnin-

garna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller: \( \qquad \boxed{\begin{align} x_1 + x_2 & = -p \\ x_1 \cdot x_2 & = q \end{align}} \)


Bevis med p-q formeln

2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q = 0\,\) har enligt pq-formeln lösningarna \( \quad \displaystyle x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\)

Om vi adderar de båda lösningarna ovan får vi:

\( \displaystyle x_1 \, + \, x_2 \, = \, \left(-\frac{p}{2} \, + \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, + \, \left(-\frac{p}{2} \, - \, \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \, = \, -\frac{p}{2} \, - \, \frac{p}{2} \, = \, - \, p\)


Detta för att de båda rotuttrycken tar ut varandra när vi löser upp parenteserna, vilket bevisar Vietas första formel.

Om vi nu multiplicerar pq-formelns båda lösningar med varandra får vi:

\( \displaystyle x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \cdot \left(-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\right) \color{Red} = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \left( \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q \right) = \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 - \bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2 + q \, = \, q \)


Omformningen kring \( \color{Red} = \) sker enligt konjugatregeln \( (a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2 \) om vi sätter \( \displaystyle a = -\frac{p}{2} \) och \( \displaystyle b = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\).

Detta bevisar Vietas andra formel.


Bevis med faktorisering av polynom och jämförelse av koefficienter

Lösningarna \( \, x_1\, \) och \( \, x_2\, \) till 2:a gradsekvationen \( \, x^2 + p\,x + q \, = \, 0 \, \) är nollställena till 2:gradspolynomet:

\[ x^2 + p\,x + q \]

Å andra sidan: om ett 2:gradspolynom i faktorform \( \, (x-x_1) \cdot (x-x_2)\) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) \; = \; 0 \]

Därav följer: \( \qquad\qquad x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \)

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Om detta bevis förefaller vara mindre förståeligt än det första med pq-formeln, kan det bero på att du (beroende på kursupplägg) inte gått igenom Polynom i faktorform och/eller Jämförelse av koefficienter.


Vietas formler kan generaliseras till polynom av högre grad än \(2\) och formuleras för polynom av grad \(n\).


Lösning av 2:a gradsekvationer med Vieta (utan p-q-formeln)

Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.


Exempel 1:

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 7\,x + 10 \; = \; 0 \)

Lösning:

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]

Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7.

Med lite provande hittar man \( \, 2 \, \) och \( \, 5 \, \) eftersom \( \, 2 + 5 = 7\, \) och \( \, 2 \cdot 5 = 10 \).

Kontrollen bekräftar resultatet:

\[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]
\[ 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \]

Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det:

\[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]

Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.


Exempel 2

Lös ekvationen \( \quad x^2 - 8\,x + 16 \; = \; 0 \)

Lösning:

Vietas formler ger:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-8) = 8 \\ x_1 \cdot x_2 & = 16 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 4\,\) och \( x_2 = 4\,\) eftersom \( 4 + 4 = 8\,\) och \( 4 \cdot 4 = 16 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 8\,x + 16 \) faktoriseras så här:

\[ x^2 - 8\,x + 16 = (x - 4) \cdot (x - 4) = (x - 4)^2 \]

Den dubbla förekomsten av faktorn \( (x-4)\,\) ger roten, dvs lösningen \( x = 4\,\), dess namn dubbelrot.


Nackdelen med Vieta

En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är:

\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]

Vietas formler ger:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]

Det är inte så enkelt att få fram lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer.

Med p-q formeln får man (se lösningen till övning 10 b)):

\[\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}\]

I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella:

\[ \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}\]


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=V8I2_zgNRHI

http://www.matteguiden.se/matte-c/polynomfunktioner/andra-typer-av-ekvationer/#Rotekvationer

http://www.pluggakuten.se/wiki/index.php?title=Rotekvation

http://wiki.math.se/wikis/forberedandematte1/index.php/3.2_Rotekvationer

http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.2_Rotekvationer





Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.
Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=Ekvationer&oldid=28874"