Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från $\, 23\;000 \,$ kr till $\, 24\;200 \,$ kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi $\, 5\;579 \,$ kr skatt för den gamla och $\, 5\;955 \,$ kr skatt för den nya lönen.

Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.

Lösning: $\qquad\qquad\qquad\;\;$ Skatten som en diskret funktion av lönen:

$x\,$ $y\,$ $23\,000$ $5\,579$ $24\,200$ $5\,955$ $\quad\;\; x \, = \,$ Månadslönen i kr. $\quad\;\; y \, = \,$ Skatten i kr.

$\quad$

Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:

$${\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%$$

I intervallet $\; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \,$ har funktionen $\, y \,$ den genomsnittliga förändringshastigheten $\; \color{Red} {0,313}$.

Dvs $\, y \,$ växer i detta intervall med $\color{Red} {0,313} \; y$-enheter per $x$-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.

Matematisk tolkning:  Marginalskatten $=$ Skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten anses som en funktion av lönen.

Ekonomisk tolkning:  Marginalskatten är $\, 31,3 \, \%$, dvs Martin måste betala $\, 31,3\,$ öre i skatt för varje mer intjänad krona.

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet:        Funktionen $\, y \, = \, f(x) \, = \, x^2$ Intervallet $\, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2$ Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet $\, 0 \leq x \leq 2$. Lösning: $${\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2$$ I intervallet $\, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \,$ har funktionen $\, y = x^2 \,$ den genomsnittliga förändringshastigheten $\, \color{Red} 2$. Dvs funktionen $\, y = x^2 \,$ växer i detta intervall med $\, \color{Red} 2 \; y$-enheter per $\, x$-enhet.

Geometrisk tolkning:    Om kurvan $\, y = x^2 \,$ i intervallet $\, 0 \leq x \leq 2 \,$ ersätts av en rät linje, kallad sekant, har denna linje lutningen $\, \color{Red} 2$.

Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet $\, 0 \leq x \leq 2$.