Förenkla nedanstående uttryck så långt som möjligt bl.a. med hjälp av potenslagarna

a) \( x^4 \cdot x^{-2} / x \)

b) \( {2\,x^{-5} \over 3\,x^{-8}} \cdot (2\,x)^{-1} \)

c) \( (25\,x^2)^{1/2} \)

d) \( (x^{-2})^6 \cdot \sqrt{y} \over y^{0,5} \cdot (x^{-4})^3\, \)

Svara med SANT eller FALSKT på följande frågor och motivera ditt svar:

a) Gäller \( (a+b)^2 = a^2 + b^2\, \)? T.ex. stämmer det att \( (3+4)^2 = 3^2 + 4^2\, \)?

b) Gäller \( (a-b)^2 = a^2 - b^2\, \)? T.ex. stämmer det att \( (5-4)^2 = 5^2 - 4^2\, \)?

c) Gäller \( \sqrt{a^2+b^2} = a + b \)? T.ex. stämmer det att \( \sqrt{5^2+4^2} = 5 + 4 \)?

d) Gäller \( \sqrt{a^2 \cdot b^2} = a \cdot b \)? T.ex. stämmer det att \( \sqrt{9 \cdot 4} = 3 \cdot 2 \)?

e) Gäller \( \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)? T.ex. stämmer det att \( \sqrt{4 + 36} = 2 + 6 \)?

f) Gäller \( x^3 \cdot y^2 = (x \cdot y)^5 \)? T.ex. stämmer det att \( 2^3 \cdot 5^2 = (2 \cdot 5)^5 \)?

Skriv om följande uttryck till en potens \( a^x\, \) av en enda bas. Avgör först vilken bas \( a\, \) som kan vara lämplig:

a) \( 8^2 \cdot 4^3 \)

b) \( 3^{-2} \cdot 9^2 \over 27 \)

c) \( x^{-5} \cdot x^9 \over (x^{-9})^{1/3} \)

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt:

a) \( \left({1 \over 3}\right)^{-3}\, \)

b) \( \sqrt{{4^{40} \over 4} \; / \; 4^{38}} \)

c) \( {9\,^{z+1} \cdot 81\,^{3\,z/4} \over 27\,^{5\,z/3}} \) (Tips: Skriv om alla baser till en enda bas.)

d) \( (6^x + 6^x + 6^x)^2 \; / \; 9\)

Lös följande ekvationer:

a) \( (3^x + 3^{x+1}) \,/\, 4\; = \; 9 \)

b) \( (2^x + 2^{x-1}) \cdot {2 \over 3}\; = \; 32 \)

c) \( 8^{3\,x+1} - 8^{3\,x} = 448\, \)

Ett belopp på 5 000 kr sätts in på ett bankkonto med fast årsränta. Inga uttag görs. Efter 10 år har beloppet fördubblats.

a) Ställ upp en potensekvation. Använd som obekant förändringsfaktorn för ett år och lös ekvationen. Ange bankens årsränta med två decimaler.

b) Hur mycket pengar finns på kontot efter 20 år (efter insättningen) om inga uttag görs. Svara så exakt som möjligt.

Övning 6 med en annan frågeställning: Ett belopp på 5 000 kr sätts in på ett bankkonto med 7% årsränta. Inga uttag görs. Hur länge tar det exakt tills beloppet fördubblats?

a) Ställ upp en ekvation. Använd som obekant antal år som behövs för att startkapitalet fördubblats. Vilken typ av ekvation blir det?

b) Försök att lösa ekvationen exakt. Om du inte lyckas pröva dig fram med hjälp av räknaren till en approximativ lösning.

En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen \( y \, \) avtar med tiden \( x \, \) enligt följande:

\[ y = c \cdot a^x \]

där \( a \, \) och \( c \, \) är vissa konstanter som måste bestämmas. Denna typ av funktion är därför en ansats till en matematisk modell för kaffets avsvalnande. Följande fakta kan användas för att bestämma konstanterna \( a \, \) och \( c \, \):

1. Kaffets temperatur var 94,3 º C när det hälldes i termosen.

2. Efter 4 timmar var temperaturen 76 º C.

a) Bestäm konstanterna \( a \, \) och \( c \, \) i ansatsen ovan och ställ upp den fullständiga matematiska modell där temperaturen \( y \, \) är en exponentialfunktion av tiden \( x \, \). Ange resultaten med 5 decimalers noggrannhet.

b) Använd modellen från b) för att besvara frågan: Hur lång tid tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Approximativ lösning räcker.