Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Versionen från 30 april 2011 kl. 18.26

Vad är genomsnittlig förändringshastighet?

Givet:

Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \] dvs ett intervall med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \).

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall dvs:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]

En annan form på den genomsnittliga förändringshastigheten får man om man inför den nya beteckningen \( h\, \) för intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \; x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

Då kan funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \) definieras som:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \]

Vilket av de två identiska uttrycken ovan man använder beror på sammanhanget. I rent beräkningssammanhang föredras ofta den första formen, medan man i teoretiska resonemang, speciellt när man definierar derivatan exakt eller bevisar deriveringsregler, snarare använder sig av den andra formen.

Kärt barn har många namn: De två uttrycken ovan har ett antal namn som allihopa kan anses vara synonymer:

Genomsnittlig förändringshastighet

Förändringskvot

Ändringskvot

Differenskvot

Om vi kommer ihåg hur begreppet lutning till en rät linje var definierat i Matte B-kursen, kan vi säga att uttrycket ovan (ta den första formen) är inget annat än lutningen till den räta linje som ersätter kurvan \( y = f\,(x) \) i det betraktade intervallet. Dvs om man bortser från kurvans verkliga (kanske krokiga) förlopp och antar istället att det går en rät linje i det betraktade intervallet kan denna räta linjes lutning beräknas med uttrycket ovan. Den räta linjens lutning kallas då kurvans genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade intervallet.

Exempel 1

Givet:

Funktionen \( y \, = \, x^2 \)

Intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 \]

Fil:Ex1 70.jpg

Funktionen \( y = x^2 \, \) växer i intervallet \( 0 \leq x \leq 2 \) med 2 y-enheter per x-enhet. Detta är innebörden av att funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall är 2.

Ersätter man i detta intervall kurvan med en rät linje, är linjens lutning som är 2 identisk med kurvans genomsnittliga förändringshastighet.

Exempel 2

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där y är oljans volym i liter och x tiden i minuter.

Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 20 \leq x \leq 30 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 \]

Fil:Ex2 70.jpg

Fu