Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Exempel 1) |
||
| Rad 58: | Rad 58: | ||
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 </math> | ::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 </math> | ||
| − | I intervallet <math> 0 \leq x \leq 2 </math> växer funktionen <math> y = x^2 \, </math> med 2 y-enheter per x-enhet. | + | |
| + | I intervallet <math> 0 \leq x \leq 2 </math> växer funktionen <math> y = x^2 \, </math> med 2 y-enheter per x-enhet. Detta är innebörden av funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall är <math> 2\, </math>. | ||
Versionen från 30 april 2011 kl. 16.05
| Teori | Övningar |
Begreppet
Givet:
- Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
- Något intervall på \( x\, \)-axeln\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \] dvs ett intervall med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \).
Sökt:
- Funktionens genomsnittliga förändringshastigheten i detta intervall dvs:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]
Om vi inför den nya beteckningen:
- \[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \; x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]
kan funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \) definieras som:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \]
Uttrycket ovan har olika namn som allihopa kan anses som synonymer:
- Genomsnittlig förändringshastighet
- Förändringskvot
- Ändringskvot
- Differenskvot
Om vi kommer ihåg hur begreppet lutning till en rät linje var definierat i Matte B-kursen, kan vi säga att uttrycket ovan är inget annat än lutningen till den räta linje som ersätter kurvan \( y = f\,(x) \) i det betraktade intervallet. Dvs om man bortser från kurvans verkliga (kanske krokiga) förlopp och antar istället att det går en rät linje i det betraktade intervallet kan denna räta linjes lutning beräknas med uttrycket ovan. Den räta linjens lutning kallas då kurvans genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade intervallet.
Exempel 1
Givet:
- Funktionen \( y \, = \, x^2 \)
- Intervallet\[ 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \]
Sökt:
- Funktionens genomsnittliga förändringshastigheten i detta intervall.
Lösning:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 \]
I intervallet \( 0 \leq x \leq 2 \) växer funktionen \( y = x^2 \, \) med 2 y-enheter per x-enhet. Detta är innebörden av funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall är \( 2\, \).
