Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) (→Begreppet) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Begreppet) |
||
| Rad 18: | Rad 18: | ||
'''Sökt''': | '''Sökt''': | ||
| − | ::::<big> Funktionens | + | ::::<big> Funktionens genomsnittliga förändringshastigheten i detta intervall dvs: </big> |
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} </math> | ::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} </math> | ||
| − | |||
Om vi inför den nya beteckningen: | Om vi inför den nya beteckningen: | ||
| Rad 29: | Rad 28: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
| − | kan | + | kan funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s <big> <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> i intervallet <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math> </big> definieras som: |
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} </math> | ::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} </math> | ||
Versionen från 30 april 2011 kl. 15.02
| Teori | Övningar |
Begreppet
Givet:
- Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
- Något intervall på \( x\, \)-axeln\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \] dvs ett intervall med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \).
Sökt:
- Funktionens genomsnittliga förändringshastigheten i detta intervall dvs:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]
Om vi inför den nya beteckningen:
- \[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \; x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]
kan funktionen \( y = f\,(x) \):s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \) definieras som:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \]
Det alternativa sättet att lösa ekvationen \( x^3 = 8\, \) visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som exponentiering med bråktalsexponenter. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:
