Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Begreppet) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Begreppet) |
||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
'''Givet''': | '''Givet''': | ||
| − | ::::<big> Funktionen <math> y \ | + | ::::<big> Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf. </big> |
::::<big> Något intervall på <math> x\, </math>-axeln: <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> </big> dvs ett intervall med givna gränser <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>. | ::::<big> Något intervall på <math> x\, </math>-axeln: <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> </big> dvs ett intervall med givna gränser <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>. | ||
| Rad 20: | Rad 20: | ||
::::<big> Funktionens <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> i detta intervall dvs: </big> | ::::<big> Funktionens <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> i detta intervall dvs: </big> | ||
| − | ::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) f(x_1) \over x_2 - x_1} </math> | + | ::::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} </math> |
---- | ---- | ||
Versionen från 30 april 2011 kl. 14.36
| Teori | Övningar |
Begreppet
Givet:
- Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
- Något intervall på \( x\, \)-axeln\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \] dvs ett intervall med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \).
Sökt:
- Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall dvs:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} \]
Vi får formeln för potenser med negativa heltalexponenter:
- \[ a^{-x} = {1 \over a^x} \]
Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:
- \[ a^2 = a \cdot a \]
- \[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]
- \[ a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} \]
- \[ a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} \]
Själva aktionen \( a^x\, \) dvs att ta \( a\, \) upphöjt till \( x\, \) kallas exponentiering och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om kvadrering.
Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) . Då kallas
- funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner, generellt\[ y = c \cdot a^x\, \].
- ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer, generellt\[ a^x\, = b \].
- funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner, generellt\[ y = c \cdot x^b\, \].
- ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer, generellt\[ x^b\, = c \].
I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom logaritmering (se avsnitt 1.6 Logaritmer), löses potensekvationer genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Alternativt (med bråktal som exponent):
- \[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]
Det alternativa sättet att lösa ekvationen \( x^3 = 8\, \) visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som exponentiering med bråktalsexponenter. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.
Potenslagarna
Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:
