Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Versionen från 30 april 2011 kl. 14.23

Begreppet

Givet:

Funktionen \( y \; = \; f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln\[ x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \] dvs ett intervall med givna gränser \( x_1\, \) och \( x_2\, \).

Sökt:

Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall dvs:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 - x_2\,x - x_1\,x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \]

En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerledet) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterledet) ger resultatet:

\[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]

Vad som skulle bevisas (V.s.b.).

Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.

Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för \(1 \cdot\) upprepad multiplikation av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:

\[ a^x = 1 \cdot \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} \]

För negativa heltalexponenter kan potensen \( a^{-x}\, \) definieras som en förkortning för \(1 /\,\) upprepad division av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:

\[ a^{-x} = 1 / \underbrace{a / a / a / \quad \ \cdots \quad / a}_{x\;\,\text{styck}} \]

Uppfattar man a som ett bråk med nämnaren 1 och ersätter man i uttrycket ovan divisionerna med "bråket" \( {a \over 1} \) (enligt regel) med multiplikationer med det omvända (inversa) bråket \( {1 \over a} \), kan man skriva om definitionen ovan så här:

\[ a^{-x} = 1 \cdot \underbrace{{1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot {1 \over a} \cdot \quad \cdot \cdots \quad \cdot {1 \over a}}_{x\;\,\text{styck}} = {1 \over a^x} \]

Vi får formeln för potenser med negativa heltalexponenter:

\[ a^{-x} = {1 \over a^x} \]

Exempel på både positiva och negativa heltalsexponenter:

\[ a^2 = a \cdot a \]

\[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]

\[ a^{-2} = {1 \over a^2} = {1 \over a \cdot a} \]

\[ a^{-3} = {1 \over a^3} = {1 \over a \cdot a \cdot a} \]

Själva aktionen \( a^x\, \) dvs att ta \( a\, \) upphöjt till \( x\, \) kallas exponentiering och är en ny räkneoperation jämfört med de fyra räknesätten. När x är lika med 2 pratar man om kvadrering.

Anta i fortsättningen att \( x\, \) är en okänd variabel och \( b\, \) och \( c\, \) givna konstanter \( \neq 0 \) . Då kallas

funktioner av typ \( y = 10^x\, \) exponentialfunktioner, generellt\[ y = c \cdot a^x\, \].

ekvationer av typ \( 10^x\,= 125 \) exponentialekvationer, generellt\[ a^x\, = b \].

funktioner av typ \( y = x^3\, \) potensfunktioner, generellt\[ y = c \cdot x^b\, \].

ekvationer av typ \( x^3\, = 8 \) potensekvationer, generellt\[ x^b\, = c \].

I exponentialfunktioner och -ekvationer förekommer x i exponenten. I potensfunktioner och -ekvationer förekommer x i basen. Medan exponentialekvationer löses genom logaritmering (se avsnitt 1.6 Logaritmer), löses potensekvationer genom rotdragning. För t.ex. potensekvationen \( x^3\, = 8 \) finns det två olika sätt att beskriva lösningen via rotdragning:

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; \sqrt[3]{\;\;} \\ \sqrt[3]{x^3} & = \sqrt[3]{8} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Alternativt (med bråktal som exponent):

\[\begin{align} x^3 & = 8 \qquad & | \; (\;\;\;)^{1 \over 3} \; \text{samma som} \; \sqrt[3]{\;\;} \\ (x^3)^{1 \over 3} & = 8^{1 \over 3} \\ x^{3\cdot{1 \over 3}} & = 8^{1 \over 3} \\ x & = 2 \\ \end{align}\]

Det alternativa sättet att lösa ekvationen \( x^3 = 8\, \) visar att rotdragning kan även uppfattas och skrivas som exponentiering med bråktalsexponenter. För att förstå detta måste man känna till potenslagarna som behandlas nedan. Dessa gäller även för exponenter som är negativa eller bråktal, även om vi inledningsvis definierade potensbegreppet för enkelhets skull endast för positiva heltalsexponenter.

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger: