Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(80 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[3.5 Extremvärdesproblem|Nästa demoavsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
[[Media: Lektion_17_Genomsnittlig_forandringshastighet.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 17: Genomsnittlig förändringshastighet</span></strong>]]
+
<!-- [[Media: Lektion_13_Genomsnittlig_forandringshastigheta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet</span></b>]] -->
−
__NOTOC__
+
 
<big>
 
<big>
 +
=== <b><span style="color:#931136">Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet</span></b> ===
 +
<div class="ovnE">
 +
<small>
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ===
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ====
 
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
 
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
  
−
I [https://www.skatteverket.se/download/18.3f4496fd14864cc5ac9f637/1424778677969/manadslon_manad.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2015 (tabell 29, kolumn 2) hittar vi <math> \, 5\;297 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;676 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
+
I [https://www.skatteverket.se/download/18.3152d9ac158968eb8fd2129/manadslon_tabell35.pdf <b><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></b>] för 2017 hittar vi <math> \, 5\;579 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;955 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
  
−
Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för &nbsp;<b><span style="color:#931136">marginalskatt</span></b>&nbsp;.
+
Beräkna <b><span style="color:#931136">marginalskatten</span></b> som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.
  
−
'''Lösning:'''
+
'''Lösning:''' <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Skatten som en [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">diskret funktion</span></b>]] av lönen:
−
 
+
<table>
−
Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Dvs skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:
+
<tr>
−
 
+
  <td>
−
:::<math> x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
+
−
 
+
−
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
+
−
 
+
−
Då blir <math> y\, </math> är en diskret funktion av <math> x\, </math> som är definierad i tabellform:
+
 
::{| class="wikitable"
 
::{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,297</math>  
+
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,579</math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,676 </math>
+
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,955 </math>
 
|}
 
|}
  
−
Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:
 
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,676 - 5\,297 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; {\color{Red} {0,316}} \; = \; 31,6 \, \%</math>
+
<math> \quad\;\; x \, = \,  </math> Månadslönen i kr.
  
−
Marginalskatten är därmed <math>31,6 \, \% </math>, vilket betyder att Martin måste betala <math>31,6\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
+
<math> \quad\;\; y \, = \,  </math> Skatten i kr.
 +
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>[[Image: Diskret loneSkattfkt_235.png]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
 
 +
Skattefunktionens <b><span style="color:red">lutning</span></b>, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b>:
 +
 
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313}  \; = \; 31,3 \, \%</math>
 +
 
 +
I intervallet <math> \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, </math> har funktionen <math> \, y \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \; \color{Red} {0,313} </math>.
 +
 
 +
Dvs <math> \, y \, </math> växer i detta intervall med <math> \color{Red} {0,313} \; y</math>-enheter per <math> x</math>-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.
 +
 
 +
'''Matematisk tolkning''':&nbsp; Marginalskatten <math> = </math> Skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> när skatten anses som en <b><span style="color:red">funktion</span></b> av lönen.
  
−
Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen <math>\,y</math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i det betraktade <math>\,x</math>-intervallet.
+
'''Ekonomisk tolkning''':&nbsp; Marginalskatten är <math> \, 31,3 \, \% </math>, dvs Martin måste betala <math> \, 31,3\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
 
</div> <!-- exempel1 -->
 
</div> <!-- exempel1 -->
  
 +
 +
Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b> ===
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b> ====
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
Rad 58: Rad 72:
 
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.
 
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.
  
−
'''Lösning''':
+
'''Lösning'''<span style="color:black">:</span>
−
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} </math>
+
::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 </math>
  
−
I intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math> ersätts kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> av en <strong><span style="color:red">rät linje</span></strong> vars <strong><span style="color:red">lutning</span></strong> är kurvans <strong><span style="color:red">genomsnittliga</span></strong>
+
I intervallet <math> \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, </math> har funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \, \color{Red} 2 </math>.
  
−
<strong><span style="color:red">förändringshastighet</span></strong> i det betraktade <math> \,x</math>-intervallet.
+
Dvs funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> \, \color{Red} 2 \; y</math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet.
  
 
</td>
 
</td>
−
   <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
+
   <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
  
−
Funktionen <math> y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> 2 \; y </math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet.
+
'''Geometrisk tolkning''': &nbsp;&nbsp; Om kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 \, </math> ersätts av en <b><span style="color:red">rät linje</span></b>, kallad <b><span style="color:red">sekant</span></b>, har denna linje lutningen <math> \, \color{Red} 2 </math>.
  
−
Detta innebär att kurvans lutning och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet är <math> \ {\color{Red} 2} </math>.
+
:::::::Sekantens <b><span style="color:red">lutning</span></b> är kurvans <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.  
 
</div> <!-- exempel2 -->
 
</div> <!-- exempel2 -->
 +
</small>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
+
</div> <!-- "ovnE" -->
−
'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
+
−
 
+
−
:::Något intervall på <math> x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
+
−
 
+
−
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
+
−
 
+
−
'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}} </math>
+
−
 
+
−
Uttrycket ovan har använts i exemplen <math> \, 1</math>-<math>2 </math>.
+
−
 
+
−
En enklare form på uttrycket får man om man inför den nya beteckningen <math> h\, </math> för intervallets längd:
+
−
 
+
−
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
+
−
                  x_1 + h & = x_2                                \\
+
−
          \end{align}</math>
+
−
 
+
−
I formeln ovan ersätter vi <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>. Då kan vi definiera:
+
  
 +
Generellt gäller:
  
 
<div class="border-divblue">
 
<div class="border-divblue">
−
<b><span style="color:#931136">Funktionen <small><math> \, y = f\,(x)</math></small>:s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden <small><math> \, h \, </math></small>:</span></b>
+
En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den <b><span style="color:red">räta linjen (sekanten)</span></b> <br> som ersätter funktionen i intervallet.
 +
</div>  
  
  
−
:::<small><math> \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math></small>
+
<div class="ovnC">
−
</div>
+
−
 
+
−
 
+
−
Observera att en funktions genomsnittliga förändringshastighet endast kan definieras i ett givet intervall på <math> \, x</math>-axeln.
+
−
 
+
−
 
+
−
<div class="exempel">
+
−
==== <b><span style="color:#931136">Beteckningar</span></b> ====
+
−
 
+
−
Kärt barn har många namn: &nbsp; Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:
+
−
 
+
−
::::::::<strong><span style="color:red">Genomsnittlig förändringshastighet</span></strong>
+
−
 
+
−
::::::::<strong><span style="color:red">Förändringskvot</span></strong>
+
−
 
+
−
::::::::<strong><span style="color:red">Ändringskvot</span></strong>
+
−
 
+
−
::::::::<strong><span style="color:red">Differenskvot</span></strong>
+
−
</div>
+
  
  
 +
<small>
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Oljetank</span></b> ===
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Oljetank</span></b> ====
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
 
   <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
 
   <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
  
−
Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
+
Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym<span style="color:black">:</span>
  
−
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
+
:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
 
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
 
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
  
Rad 137: Rad 119:
 
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
 
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
  
−
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet
+
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans <b><span style="color:red">genomsnittliga utströmningshastighet</span></b>
  
−
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;från början tills tanken är tom.
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.
−
 
+
−
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>.
+
−
 
+
−
'''d)''' &nbsp;&nbsp; När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.
+
 
</td>
 
</td>
−
   <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
+
   <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
−
</div> <!-- exempel3 -->
+
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math>.
−
 
+
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
−
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Se grafen ovan.
+
'''a)'''&nbsp;&nbsp;Se grafen ovan.
  
−
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. <math> \, 45 \, </math> minuter. Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
+
'''b)'''&nbsp;&nbsp;Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. <math> \, 45 \, </math> minuter.
  
−
:::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
+
:Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
  
−
[[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Räknarens ekvationslösare</span></strong>]] visar att <math> x = 45\, </math> är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom <math> 0 \leq x \leq 45 </math>. I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
+
::::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 </math>
+
:[[Grafritning och ekvationslösning med räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<b><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></b>]] visar att <math> \, x = 45\, </math> är även den exakta lösningen.
  
−
I hela tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 45 </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut.
+
:Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} </math>
  
 +
:I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet<span style="color:black">:</span>
  
−
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>:
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} </math>
 +
 
 +
:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut.
 +
 
 +
 
 +
'''c)'''&nbsp;&nbsp;Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
 
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
 
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
Rad 172: Rad 155:
 
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
 
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 </math>
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} </math>
  
−
I tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut.
+
:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut.
 +
</div> <!-- exempel3 -->
 +
</small>
  
  
−
'''d)''' &nbsp;&nbsp; Grafen i '''a)''' visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym, nämligen <math> 9\,000 </math> liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller <strong><span style="color:red">momentan</span></strong>.
+
</div> <!-- "ovnC" -->
  
−
För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> måste man bestämma funktionen <math> y\, </math>:s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.
 
  
−
För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med <math> x = 0\, </math> som undre intervallgräns.
+
=== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ===
 +
'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
  
−
Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math>:
+
:::Något intervall på <math> \, x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> och <math> \, x_1 \neq x_2 </math>.
  
−
:::<math> f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 </math>
+
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 </math>
+
'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad </math> Detta uttryck har använts i exemplen ovan.
  
−
I tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math> sjunker oljans volym med <math> 379,6\, </math> liter per minut.
+
'''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>''':
  
−
Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math>, för det exakta värdet är <math> -380\, </math>. I avsnittet [[2.4 Derivatans definition|<strong><span style="color:blue">2.4 Derivatans definition</span></strong>]] kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.
+
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.
  
 +
Denna variant som används vid [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]] får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd:
  
−
== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ==
+
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
 +
                  x_1 + h & = x_2                                \\
 +
          \end{align}</math>
 +
 
 +
Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>, får vi den allmänna definitionen:
 +
 
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Funktionen <math> \, y = f\,(x)\,</math>:s &nbsp; <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> &nbsp; i ett intervall av längden <math> \, h \neq 0 \, </math> är:</span></b>
 +
 
 +
::::<small><math> \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
 +
 
 +
Andra beteckningar som allihopa är synonymer<span style="color:black">:</span></small> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Förändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Ändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Differenskvot</span></b>
 +
</div>
 +
 
 +
Uttrycket ovan användes redan i [[2.1_Introduktion_till_derivata|<b><span style="color:blue">Aktiviteten</span></b>]] och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.
 +
 
 +
 
 +
=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===
 
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
 
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
  
Rad 210: Rad 213:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 20.26

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi \( \, 5\;579 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;955 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.

Lösning: \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Skatten som en diskret funktion av lönen:

\( x\, \) \( y\, \)
\( 23\,000 \) \( 5\,579\)
\( 24\,200 \) \( 5\,955 \)


\( \quad\;\; x \, = \, \) Månadslönen i kr.

\( \quad\;\; y \, = \, \) Skatten i kr.

\( \quad \) Diskret loneSkattfkt 235.png

Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%\]

I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; \color{Red} {0,313} \).

Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \color{Red} {0,313} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.

Matematisk tolkning:  Marginalskatten \( = \) Skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten anses som en funktion av lönen.

Ekonomisk tolkning:  Marginalskatten är \( \, 31,3 \, \% \), dvs Martin måste betala \( \, 31,3\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.


Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet:        Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 \]

I intervallet \( \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \color{Red} 2 \).

Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, \color{Red} 2 \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet.

    Ex1a.jpg

Geometrisk tolkning:    Om kurvan \( \, y = x^2 \, \) i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) ersätts av en rät linje, kallad sekant, har denna linje lutningen \( \, \color{Red} 2 \).

Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).


Generellt gäller:

En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den räta linjen (sekanten)
som ersätter funktionen i intervallet.



Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet

        i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.

    Ex2a.jpg

c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).

Lösning:

a)  Se grafen ovan.

b)  Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.

Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]
Ekvationslösning med miniräknare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.
Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \)
I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.


c)  Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.



Allmän definition

Givet:        Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( \, x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) och \( \, x_1 \neq x_2 \).

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning:     \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad \) Detta uttryck har använts i exemplen ovan.

Övergång till notation med intervallängden \( \, h \, \):

Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.

Denna variant som används vid derivatans definition får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning \( \, h\, \) för \( \, x\)-intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:

Funktionen \( \, y = f\,(x)\,\):s   genomsnittliga förändringshastighet   i ett intervall av längden \( \, h \neq 0 \, \) är:

\( \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)

Andra beteckningar som allihopa är synonymer: \( \quad \) Förändringskvot \( \quad \) Ändringskvot \( \quad \) Differenskvot

Uttrycket ovan användes redan i Aktiviteten och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf






Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet&oldid=28810"