Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(98 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 +
__NOTOC__
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|<-- Förra avsnitt]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata| <<&nbsp;&nbsp;Förra avsnitt]]}}
 
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
 
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
 
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
−
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Nästa demoavsnitt -->]]}}
+
{{Not selected tab|[[2.3 Gränsvärde|Nästa avsnitt&nbsp;&nbsp;>> ]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
 
|}
 
|}
  
  
−
 
+
<!-- [[Media: Lektion_13_Genomsnittlig_forandringshastigheta.pdf|<b><span style="color:blue">Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet</span></b>]] -->
−
[[Media: Lektion_16_Genomsnittlig_forandringshastig.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 16: Genomsnittlig förändringshastighet</span></strong>]]
+
<big>
−
__NOTOC__  <!-- __TOC__ -->
+
=== <b><span style="color:#931136">Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet</span></b> ===
 +
<div class="ovnE">
 +
<small>
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ==
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ====
 
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
 
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
  
−
I [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2014 (sida 2, kolumn 2) hittar vi <math> \, 5\;302 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;681 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
+
I [https://www.skatteverket.se/download/18.3152d9ac158968eb8fd2129/manadslon_tabell35.pdf <b><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></b>] för 2017 hittar vi <math> \, 5\;579 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;955 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
  
−
Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för ''marginalskatt''.
+
Beräkna <b><span style="color:#931136">marginalskatten</span></b> som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.
  
−
'''Lösning:'''
+
'''Lösning:''' <math> \qquad\qquad\qquad\;\; </math> Skatten som en [[1.5_Kontinuerliga_och_diskreta_funktioner|<b><span style="color:blue">diskret funktion</span></b>]] av lönen:
−
 
+
<table>
−
Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Detta innebär att skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:
+
<tr>
−
 
+
  <td>
−
:::<math> x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
+
−
 
+
−
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
+
−
 
+
−
Då blir <math> y\, </math> är en funktion av <math> x\, </math> som i det här fallet inte är definierad med en formel utan i tabellform:
+
 
::{| class="wikitable"
 
::{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,302 </math>  
+
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,579</math>  
 
|-
 
|-
−
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,681 </math>
+
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,955 </math>
 
|}
 
|}
  
−
Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:
 
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,681 - 5\,302 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; 0,316 \; = \; 31,6 \, \%</math>
+
<math> \quad\;\; x \, = \,  </math> Månadslönen i kr.
  
−
Marginalskatten är därmed <math>31,6 \, \% </math>, vilket i praktiken innebär att Martin måste betala <math>31,6\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
+
<math> \quad\;\; y \, = \,  </math> Skatten i kr.
 +
</td>
 +
  <td><math> \quad </math></td>
 +
  <td>[[Image: Diskret loneSkattfkt_235.png]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
  
−
Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen <math>\,y</math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i det betraktade <math>\,x</math>-intervallet.
+
Skattefunktionens <b><span style="color:red">lutning</span></b>, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b>:
 +
 
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313}  \; = \; 31,3 \, \%</math>
 +
 
 +
I intervallet <math> \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, </math> har funktionen <math> \, y \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \; \color{Red} {0,313} </math>.
 +
 
 +
Dvs <math> \, y \, </math> växer i detta intervall med <math> \color{Red} {0,313} \; y</math>-enheter per <math> x</math>-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.
 +
 
 +
'''Matematisk tolkning''':&nbsp; Marginalskatten <math> = </math> Skattens <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> när skatten anses som en <b><span style="color:red">funktion</span></b> av lönen.
 +
 
 +
'''Ekonomisk tolkning''':&nbsp; Marginalskatten är <math> \, 31,3 \, \% </math>, dvs Martin måste betala <math> \, 31,3\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
 
</div> <!-- exempel1 -->
 
</div> <!-- exempel1 -->
  
 +
 +
Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Oljetank</span></b> ==
+
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b> ====
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
−
   <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
+
   <td>'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math>
  
−
Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
+
:::Intervallet <math> \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math>
  
−
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
+
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.
−
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
+
  
−
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
+
'''Lösning'''<span style="color:black">:</span>
 +
::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 </math>
  
−
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
+
I intervallet <math> \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, </math> har funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> den genomsnittliga förändringshastigheten <math> \, \color{Red} 2 </math>.
  
−
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet
+
Dvs funktionen <math> \, y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> \, \color{Red} 2 \; y</math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet.
  
−
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;från början tills tanken är tom.
 
−
 
−
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>.
 
−
 
−
'''d)''' &nbsp;&nbsp; När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.
 
 
</td>
 
</td>
−
   <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2_70.jpg]]</td>
+
   <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
 +
'''Geometrisk tolkning''': &nbsp;&nbsp; Om kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 \, </math> ersätts av en <b><span style="color:red">rät linje</span></b>, kallad <b><span style="color:red">sekant</span></b>, har denna linje lutningen <math> \, \color{Red} 2 </math>.
 +
 +
:::::::Sekantens <b><span style="color:red">lutning</span></b> är kurvans <b><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></b> i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.
 
</div> <!-- exempel2 -->
 
</div> <!-- exempel2 -->
 +
</small>
  
  
−
'''Lösning:'''
+
</div> <!-- "ovnE" -->
  
−
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Se grafen till höger.
+
Generellt gäller:
  
−
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Grafen tyder pår att tanken är tom efter ca. 45 minuter. Den exakta tiden får man genom att lösa 2:a gradsekvationen:
+
<div class="border-divblue">
 +
En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den <b><span style="color:red">räta linjen (sekanten)</span></b> <br> som ersätter funktionen i intervallet.
 +
</div>
  
−
:::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
 
  
−
Räknarens ekvationslösare visar att <math> x = 45\, </math> är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom <math> 0 \leq x \leq 45 </math>. I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
+
<div class="ovnC">
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 </math>
 
  
−
I hela tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 45 </math> sjunker oljans volym med 200 liter per minut.
+
<small>
 +
<div class="exempel">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Oljetank</span></b> ====
 +
<table>
 +
<tr>
 +
  <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
  
 +
Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym<span style="color:black">:</span>
  
−
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>:
+
:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
 +
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
  
−
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
+
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
  
−
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
+
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 </math>
+
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans <b><span style="color:red">genomsnittliga utströmningshastighet</span></b>
  
−
I tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math> sjunker oljans volym med 180 liter per minut.
+
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.
 +
</td>
 +
  <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
 +
</tr>
 +
</table>
 +
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math>.
  
 +
'''Lösning:'''
  
−
'''d)''' &nbsp;&nbsp; Grafen i '''a)''' visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym, nämligen <math> 9\,000 </math> liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller <strong><span style="color:red">momentan</span></strong>.
+
'''a)'''&nbsp;&nbsp;Se grafen ovan.
  
−
För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> måste man bestämma funktionen <math> y\, </math>:s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.  
+
'''b)'''&nbsp;&nbsp;Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. <math> \, 45 \, </math> minuter.
  
−
För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med <math> x = 0\, </math> som undre intervallgräns.
+
:Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen<span style="color:black">:</span>
  
−
Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math>:
+
::::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
  
−
:::<math> f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 </math>
+
:[[Grafritning och ekvationslösning med räknare#Ekvationsl.C3.B6sning_med_minir.C3.A4knare|<b><span style="color:blue">Ekvationslösning med miniräknare</span></b>]] visar att <math> \, x = 45\, </math> är även den exakta lösningen.
  
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 </math>
+
:Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom<span style="color:black">:</span> <math> \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} </math>
  
−
I tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math> sjunker oljans volym med <math> 379,6\, </math> liter per minut.
+
:I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet<span style="color:black">:</span>
  
−
Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math>, för det exakta värdet är <math> -380\, </math>. I avsnittet [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">2.4 Derivatans definition</span></strong>]] kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} </math>
  
 +
:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut.
  
−
<div class="exempel">
 
−
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Kvadratisk funktion</span></b> ==
 
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
  <td>'''Givet''':
 
−
:::<big> Funktionen <math> y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math> </big>
 
  
−
:::<big> Intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math> </big>  
+
'''c)'''&nbsp;&nbsp;Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> \, 20 \leq x \leq 30 \, </math><span style="color:black">:</span>
  
−
'''Sökt''':
+
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
−
::<big> Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i <math> \, x</math>-intervallet. </big>
+
  
−
'''Lösning''':
+
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
−
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; 2 </math>
+
−
<big>
+
−
I <math> \, x</math>-intervallet ersätts kurvan <math> y = x^2 </math> av en <strong><span style="color:red">rät linje</span></strong> (grön i grafen) vars <strong><span style="color:red">lutning</span></strong> är
+
  
−
kurvans <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i intervallet <math> 0 \leq x \leq 2 </math>:
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} </math>
  
−
Funktionen <math> y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> 2 \; y </math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet, vilket innebär
+
:Dvs i intervallet <math> \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut.
−
 
+
−
att lutningen och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet där är &nbsp; <math> 2\,</math>.
+
−
</big>
+
−
</td>
+
−
  <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1_70.jpg]]</td>
+
−
</tr>
+
−
</table>
+
 
</div> <!-- exempel3 -->
 
</div> <!-- exempel3 -->
 +
</small>
  
  
−
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
+
</div> <!-- "ovnC" -->
−
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
−
'''Givet''':
+
  
−
:::Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
 
  
−
:::Något intervall på <math> x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
+
=== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ===
 +
'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
  
−
'''Sökt''':
+
:::Något intervall på <math> \, x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> och <math> \, x_1 \neq x_2 </math>.
  
−
:::Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.
+
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
  
 +
'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad </math> Detta uttryck har använts i exemplen ovan.
  
−
'''Lösning''':
+
'''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>''':  
  
−
Funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> kan vi enligt exemplen 1-3 börja att skriva så här:
+
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.
  
−
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} </math>
+
Denna variant som används vid [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]] får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd:
−
 
+
−
En enklare form på uttrycket ovan får man om man inför den nya beteckningen <math> h\, </math> för intervallets längd:
+
  
 
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
 
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
Rad 175: Rad 184:
 
           \end{align}</math>
 
           \end{align}</math>
  
−
I formeln ovan ersätter vi <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>.
+
Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>, får vi den allmänna definitionen:
  
 +
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Funktionen <math> \, y = f\,(x)\,</math>:s &nbsp; <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> &nbsp; i ett intervall av längden <math> \, h \neq 0 \, </math> är:</span></b>
  
−
Funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i ett intervall kan då definieras som:
+
::::<small><math> \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
  
−
 
+
Andra beteckningar som allihopa är synonymer<span style="color:black">:</span></small> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Förändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Ändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Differenskvot</span></b>
−
<div class="border-div2">
+
−
<math> \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
+
 
</div>
 
</div>
  
 +
Uttrycket ovan användes redan i [[2.1_Introduktion_till_derivata|<b><span style="color:blue">Aktiviteten</span></b>]] och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.
  
−
<div class="exempel">
 
−
'''Beteckningar:'''
 
  
−
Kärt barn har många namn: &nbsp; Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:
+
=== <b><span style="color:#931136">Internetlänkar</span></b> ===
−
 
+
−
::::::::Genomsnittlig förändringshastighet
+
−
 
+
−
::::::::Förändringskvot
+
−
 
+
−
::::::::Ändringskvot
+
−
 
+
−
::::::::Differenskvot
+
−
</div>
+
−
</div> <!-- tolv1 -->
+
−
 
+
−
 
+
−
== Internetlänkar ==
+
 
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
 
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
  
Rad 210: Rad 205:
  
 
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
 
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
 +
</big>
 +
 +
  
  
Rad 218: Rad 216:
  
  
−
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2020 [https://www.techpages.se <b><span style="color:blue">TechPages AB</span></b>]. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 2 maj 2020 kl. 20.26

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      


Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi \( \, 5\;579 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;955 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.

Lösning: \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Skatten som en diskret funktion av lönen:

\( x\, \) \( y\, \)
\( 23\,000 \) \( 5\,579\)
\( 24\,200 \) \( 5\,955 \)


\( \quad\;\; x \, = \, \) Månadslönen i kr.

\( \quad\;\; y \, = \, \) Skatten i kr.

\( \quad \) Diskret loneSkattfkt 235.png

Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%\]

I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; \color{Red} {0,313} \).

Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \color{Red} {0,313} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.

Matematisk tolkning:  Marginalskatten \( = \) Skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten anses som en funktion av lönen.

Ekonomisk tolkning:  Marginalskatten är \( \, 31,3 \, \% \), dvs Martin måste betala \( \, 31,3\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.


Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet:        Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 \]

I intervallet \( \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \color{Red} 2 \).

Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, \color{Red} 2 \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet.

    Ex1a.jpg

Geometrisk tolkning:    Om kurvan \( \, y = x^2 \, \) i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) ersätts av en rät linje, kallad sekant, har denna linje lutningen \( \, \color{Red} 2 \).

Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).


Generellt gäller:

En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den räta linjen (sekanten)
som ersätter funktionen i intervallet.



Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet

        i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.

    Ex2a.jpg

c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).

Lösning:

a)  Se grafen ovan.

b)  Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.

Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]
Ekvationslösning med miniräknare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.
Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \qquad \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \)
I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.


c)  Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.



Allmän definition

Givet:        Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( \, x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) och \( \, x_1 \neq x_2 \).

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning:     \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad \) Detta uttryck har använts i exemplen ovan.

Övergång till notation med intervallängden \( \, h \, \):

Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.

Denna variant som används vid derivatans definition får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning \( \, h\, \) för \( \, x\)-intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:

Funktionen \( \, y = f\,(x)\,\):s   genomsnittliga förändringshastighet   i ett intervall av längden \( \, h \neq 0 \, \) är:

\( \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)

Andra beteckningar som allihopa är synonymer: \( \quad \) Förändringskvot \( \quad \) Ändringskvot \( \quad \) Differenskvot

Uttrycket ovan användes redan i Aktiviteten och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf






Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet&oldid=28810"