Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 118: Rad 118:
 
'''a)'''    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
 
'''a)'''    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
  
−
'''b)'''    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet
+
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans <b><span style="color:red">genomsnittliga utströmningshastighet</span></b>
  
 
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.
 
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.
Rad 169: Rad 169:
 
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
 
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
  
−
'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad </math> Detta uttryck har använts i exemplen ovan.
+
'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad </math> Detta uttryck har använts i exemplen ovan.
  
 
'''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>''':  
 
'''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>''':  
Rad 175: Rad 175:
 
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.
 
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.
  
−
Denna variant som används vid [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]] får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd:
+
Denna variant som används vid [[2.4 Derivatans definition|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]] får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd:
  
 
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
 
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
Rad 186: Rad 186:
 
<b><span style="color:#931136">Funktionen <math> \, y = f\,(x)\,</math>:s &nbsp; <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> &nbsp; i ett intervall av längden <math> \, h \neq 0 \, </math> är:</span></b>
 
<b><span style="color:#931136">Funktionen <math> \, y = f\,(x)\,</math>:s &nbsp; <span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span> &nbsp; i ett intervall av längden <math> \, h \neq 0 \, </math> är:</span></b>
  
−
::::<small><math> \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
+
::::<small><math> \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
  
 
Andra beteckningar som allihopa är synonymer<span style="color:black">:</span></small> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Förändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Ändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Differenskvot</span></b>
 
Andra beteckningar som allihopa är synonymer<span style="color:black">:</span></small> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Förändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Ändringskvot</span></b> <math> \quad </math> <b><span style="color:red">Differenskvot</span></b>
Rad 192: Rad 192:
  
 
Uttrycket ovan användes redan i [[2.1_Introduktion_till_derivata|<b><span style="color:blue">Aktiviteten</span></b>]] och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.
 
Uttrycket ovan användes redan i [[2.1_Introduktion_till_derivata|<b><span style="color:blue">Aktiviteten</span></b>]] och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.
−
 
−
 
−
<div class="ovnC">
 
−
<small>
 
−
=== <b><span style="color:#931136">Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet</span></b> ===
 
−
<br>
 
−
<div class="exempel">
 
−
<table>
 
−
<tr>
 
−
  <td>
 
−
==== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Oljetank (forts.)</span></b> ====
 
−
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten enligt<span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
:::<math> y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
 
−
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
 
−
 
−
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
 
−
 
−
Beräkna ett bra närmevärde till oljans utströmningshastighet
 
−
 
−
när den är <b><span style="color:red">störst</span></b>, t.ex. genom att beräkna oljans genomsnitt-
 
−
 
−
liga utströmningshastighet i det lilla intervallet <math> \, \color{Red} {0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1} \, </math>.
 
−
</td>
 
−
  <td>&nbsp; &nbsp; [[Image: Ex Olja.jpg]]</td>
 
−
</tr>
 
−
</table>
 
−
</div> <!-- exempel3 -->
 
−
'''Lösning:'''
 
−
 
−
Oljans utströmningshastighet är störst när volymen och därmed trycket på hålet är störst, dvs i början.
 
−
 
−
Även grafen visar att kurvans lutning är brantast vid tiden <math> \, x = 0\, </math> när oljan har den största volymen <math> \, 9\,000 </math> liter.
 
−
 
−
Men vi kan inte beräkna utströmningshastigheten vid tiden <math> \, x = 0 \, </math> därför att <math> x = 0 </math> inte är något intervall utan en <b><span style="color:red">punkt</span></b>.
 
−
 
−
Hastigheten vid tid<b><span style="color:red">punkt</span></b>en <math> \, x = 0 \, </math> kallas för <b><span style="color:red">ögonblicklig</span></b> eller <b><span style="color:red">momentan förändringshighet</span></b>.
 
−
 
−
Vi kan närma oss den genom att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten i det lilla intervallet <math> \, \color{Red} {0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1} \, </math><span style="color:black">:</span>
 
−
 
−
<math> f\,(\color{Red} 0) = 4 \cdot \color{Red} 0\,^2 - 380 \cdot \color{Red} 0 + 9\,000 = 9\,000 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x_1 \, = \, 0</math>
 
−
 
−
<math> f\,(\color{Red} {0,1}) = 4 \cdot \color{Red} {0,1}\,^2 - 380 \cdot \color{Red} {0,1} + 9\,000 = 8962,04 \qquad\qquad\qquad h \, = \, 0,1</math>
 
−
 
−
<math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} = {f(0 + 0,1) - f(0) \over 0,1} = {f(0,1) - f(0) \over 0,1} = {8962,04 - 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = \color{Red} {-379,6} </math>
 
−
 
−
I intervallet <math> \, \color{Red} {0 \leq x \leq 0,1} \, </math> sjunker oljans volym med <math> \, 379,6\, </math> liter per minut.
 
−
</small>
 
−
</div> <!-- "ovnC" -->
 
−
 
−
 
−
Faktiskt är <math> \, \color{Red} {-379,6} \, </math> inget dåligt närmevärde, för det exakta värdet kommer att visa sig vara <math> \, \color{Red} {-380} \, </math>, se [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]].
 
−
 
−
För att få det exakta värdet behöver vi konceptet [[2.3 Gränsvärde|<b><span style="color:blue">Gränsvärde</span></b>]] som behandlas i nästa avsnitt där man låter intervallängden gå mot <math> \, 0\, </math><span style="color:black">:</span>  <math> \; \bf{ \color{Red} {\boxed{h \to 0}} } </math>
 
  
  

Versionen från 9 november 2018 kl. 13.24

        <<  Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa avsnitt  >>      

Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi \( \, 5\;579 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;955 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.

Lösning: \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Skatten som en diskret funktion av lönen:

\( x\, \) \( y\, \)
\( 23\,000 \) \( 5\,579\)
\( 24\,200 \) \( 5\,955 \)


\( \quad\;\; x \, = \, \) Månadslönen i kr.

\( \quad\;\; y \, = \, \) Skatten i kr.

\( \quad \) Diskret loneSkattfkt 235.png

Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%\]

I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; \color{Red} {0,313} \).

Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \color{Red} {0,313} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.

Matematisk tolkning:  Marginalskatten \( = \) Skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten anses som en funktion av lönen.

Ekonomisk tolkning:  Marginalskatten är \( \, 31,3 \, \% \), dvs Martin måste betala \( \, 31,3\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.


Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet:        Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; \color{Red} 2 \]

I intervallet \( \, \color{Red}{0 \leq x \leq 2} \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \color{Red} 2 \).

Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, \color{Red} 2 \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet.

    Ex1a.jpg

Geometrisk tolkning:    Om kurvan \( \, y = x^2 \, \) i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) ersätts av en rät linje, kallad sekant, har denna linje lutningen \( \, \color{Red} 2 \).

Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).


Generellt gäller:

En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den räta linjen (sekanten)
som ersätter funktionen i intervallet.



Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen följer följande funktion som beskriver oljans volym:

\[ y \, = \, f(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet

        i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom.

    Ex2a.jpg

c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).

Lösning:

a)  Se grafen ovan.

b)  Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.

Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\( \qquad 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \qquad \) Räknarens ekvationslösare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.

Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \).
I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {0 \leq x \leq 45} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.


c)  Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]
Dvs i intervallet \( \, \color{Red} {20 \leq x \leq 30} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.



Allmän definition

Givet:        Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( \, x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) och \( \, x_1 \neq x_2 \).

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning:     \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_2) \, - \, f(x_1)}{x_2 - x_1}} \quad \) Detta uttryck har använts i exemplen ovan.

Övergång till notation med intervallängden \( \, h \, \):

Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.

Denna variant som används vid derivatans definition får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning \( \, h\, \) för \( \, x\)-intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:

Funktionen \( \, y = f\,(x)\,\):s   genomsnittliga förändringshastighet   i ett intervall av längden \( \, h \neq 0 \, \) är:

\( \quad \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \; = \; \boxed{\displaystyle \frac{f(x_1 + h) \, - \, f(x_1)}{h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)

Andra beteckningar som allihopa är synonymer: \( \quad \) Förändringskvot \( \quad \) Ändringskvot \( \quad \) Differenskvot

Uttrycket ovan användes redan i Aktiviteten och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf






Copyright © 2011-2018 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://minidemo.mathonline.se/index.php?title=2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet&oldid=28183"