Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 172: | Rad 172: | ||
'''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>, även kallad steglängd''': | '''Övergång till notation med intervallängden <math> \, h \, </math>, även kallad steglängd''': | ||
| − | Uttrycket ovan används | + | Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket. |
| − | Denna variant får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd: | + | Denna variant som används vid [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">derivatans definition</span></b>]] får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning <math> \, h\, </math> för <math> \, x</math>-intervallets längd: |
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ | ::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ | ||
| Rad 213: | Rad 213: | ||
<div class="ovnC"> | <div class="ovnC"> | ||
<small> | <small> | ||
| − | === <b><span style="color:#931136"> | + | === <b><span style="color:#931136">Momentan förändringshighet</span></b> === |
<br> | <br> | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
| Rad 242: | Rad 242: | ||
Oljans utströmningshastighet är störst när volymen och därmed trycket på hålet är störst, dvs i början. | Oljans utströmningshastighet är störst när volymen och därmed trycket på hålet är störst, dvs i början. | ||
| − | + | Även grafen visar att kurvans lutning är brantast vid tiden <math> \, x = 0\, </math> när oljan har den största volymen <math> \, 9\,000 </math> liter. | |
| − | + | Men vi kan inte beräkna utströmningshastigheten vid tiden <math> \, x = 0 \, </math> därför att <math> x = 0 </math> inte är något intervall utan en <b><span style="color:red">punkt</span></b>. | |
| − | + | Hastigheten vid tid<b><span style="color:red">punkt</span></b>en <math> \, x = 0 \, </math> kallas för <b><span style="color:red">ögonblicklig</span></b> eller <b><span style="color:red">momentan förändringshighet</span></b>. | |
| − | + | Vi kan närma oss den genom att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten i det lilla intervallet <math> \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, \color{Red} {0,1} \, </math><span style="color:black">:</span> | |
::<math> f\,(\color{Red} {0,1}) = 4 \cdot \color{Red} {0,1}\,^2 - 380 \cdot \color{Red} {0,1} + 9\,000 = 8962,04 </math> | ::<math> f\,(\color{Red} {0,1}) = 4 \cdot \color{Red} {0,1}\,^2 - 380 \cdot \color{Red} {0,1} + 9\,000 = 8962,04 </math> | ||
| Rad 261: | Rad 261: | ||
</div> <!-- exempel3 --> | </div> <!-- exempel3 --> | ||
| − | Faktiskt är <math> \, -379,6 \, </math> inget dåligt närmevärde, för det exakta värdet kommer att visa sig vara <math> -380 </math>, se [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Derivatans definition</span></b>]]. | + | Faktiskt är <math> \, \color{Red} {-379,6} \, </math> inget dåligt närmevärde, för det exakta värdet kommer att visa sig vara <math> \, \color{Red} {-380} \, </math>, se [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<b><span style="color:blue">Derivatans definition</span></b>]]. |
För att kunna definiera derivatan behöver vi konceptet [[2.3 Gränsvärde|<b><span style="color:blue">Gränsvärde</span></b>]], där man låter intervallets längd gå mot <math> \, 0\, </math><span style="color:black">:</span> <math> \quad \bf{ \color{Red} {\boxed{h \to 0}} } </math> | För att kunna definiera derivatan behöver vi konceptet [[2.3 Gränsvärde|<b><span style="color:blue">Gränsvärde</span></b>]], där man låter intervallets längd gå mot <math> \, 0\, </math><span style="color:black">:</span> <math> \quad \bf{ \color{Red} {\boxed{h \to 0}} } </math> | ||
Versionen från 23 oktober 2017 kl. 12.13
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet
Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet
Exempel 1 Marginalskatt
Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.
Beräkna marginalskatten som är den procentuella andelen av varje lönehöjning som går till skatt.
I Skatteverkets skattetabell för 2017 hittar vi \( \, 5\;579 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;955 \, \) kr skatt för den nya lönen.
Lösning: \( \qquad\qquad\qquad\;\; \) Betrakta skatten som en funktion av lönen:
\( \quad\;\; y \, = \, \) Skatten i kr. |
\( \quad \) |  |
Skattefunktionens lutning, dvs kvoten mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för skattens genomsnittliga förändringshastighet:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,955 - 5\,579 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {376 \over 1200} \; = \; \color{Red} {0,313} \; = \; 31,3 \, \%\]
I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; \color{Red} {0,313} \).
Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( \color{Red} {0,313} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet. Med andra ord, marginalskatten är lutningen i figuren ovan.
Matematisk tolkning: Marginalskatten \( = \) Skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten anses som en funktion av lönen.
Ekonomisk tolkning: Marginalskatten är \( \, 31,3 \, \% \), dvs Martin måste betala \( \, 31,3\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.
Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:
Exempel 2 Kvadratisk funktion
Givet: Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \). Lösning:
I intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, \color{Red} 2 \). Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, \color{Red} 2 \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet. |
 |
Geometrisk tolkning: Om man ersätter kurvan \( \, y = x^2 \, \) med en rät linje har denna linje som kallas för kurvans sekant, lutningen \( \, \color{Red} 2 \).
- Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).
Generellt gäller:
En funktions genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall är lutningen till den räta linjen (sekanten)
som ersätter funktionen i intervallet.
Exempel 3 Oljetank
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen beskrivs av funktionen:
där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
a) Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. b) Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom. |
 |
c) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).
Lösning:
a) Se grafen ovan.
b) Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.
- Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
\( \qquad 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \qquad \) Räknarens ekvationslösare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.
- Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \).
- I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]
- Dvs i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.
c) Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):
- \[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
- \[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]
- Dvs i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.
Allmän definition
Givet: Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
- Något intervall på \( \, x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \) och \( \, x_1 \neq x_2 \).
Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).
Lösning: \( \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {\boxed {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}}} \quad \) Detta uttryck har använts i exemplen ovan.
Övergång till notation med intervallängden \( \, h \, \), även kallad steglängd:
Uttrycket ovan används inledningsvis pga dess kända form som lutning. Men i fortsättningen kommer vi att använda en annan variant av uttrycket.
Denna variant som används vid derivatans definition får vi genom att i uttrycket ovan införa en ny beteckning \( \, h\, \) för \( \, x\)-intervallets längd:
- \[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]
Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:
Funktionen \( \, y = f\,(x)\):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden \( \, h \neq 0 \, \) är:
- \( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)
Observera att den genomsnittliga förändringshastigheten endast kan definieras i ett givet intervall på \( \, x\)-axeln vars längd är \( \, \neq 0 \).
Denna definition för genomsnittlig förändringshastighet användes i Aktiviteten och kommer att användas även i fortsättningen i detta kapitel.
Beteckningar
Uttrycket \( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \quad \) har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:
- Genomsnittlig förändringshastighet
- Förändringskvot
- Ändringskvot
- Differenskvot
Kärt barn har många namn.
Momentan förändringshighet
Exempel 3 Oljetank (forts.)En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten enligt:
där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
Beräkna ett bra närmevärde till oljans utströmningshastighet när den är störst, t.ex. genom att beräkna oljans genomsnitt- liga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, \color{Red} {0,1} \, \). |
 |
Tolka resultatet.
Lösning:
Oljans utströmningshastighet är störst när volymen och därmed trycket på hålet är störst, dvs i början.
Även grafen visar att kurvans lutning är brantast vid tiden \( \, x = 0\, \) när oljan har den största volymen \( \, 9\,000 \) liter.
Men vi kan inte beräkna utströmningshastigheten vid tiden \( \, x = 0 \, \) därför att \( x = 0 \) inte är något intervall utan en punkt.
Hastigheten vid tidpunkten \( \, x = 0 \, \) kallas för ögonblicklig eller momentan förändringshighet.
Vi kan närma oss den genom att beräkna den genomsnittliga utströmningshastigheten i det lilla intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, \color{Red} {0,1} \, \):
- \[ f\,(\color{Red} {0,1}) = 4 \cdot \color{Red} {0,1}\,^2 - 380 \cdot \color{Red} {0,1} + 9\,000 = 8962,04 \]
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(\color{Red} {0,1}) \, - \, f(0) \over \color{Red} {0,1} - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over \color{Red} {0,1}} = {-37,96 \over {\color{Red} {0,1}}} \, = \, \color{Red} {-379,6} \]
I intervallet \( \, 0 \leq x \leq \color{Red} {0,1} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 379,6\, \) liter per minut.
Tolkning: Detta är ett närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( \, x = 0\, \) (exakta värdet).
Ett ännu bättre närmevärde får man om man väljer en ännu mindre intervallängd \( \, h \, \).
Faktiskt är \( \, \color{Red} {-379,6} \, \) inget dåligt närmevärde, för det exakta värdet kommer att visa sig vara \( \, \color{Red} {-380} \, \), se Derivatans definition.
För att kunna definiera derivatan behöver vi konceptet Gränsvärde, där man låter intervallets längd gå mot \( \, 0\, \): \( \quad \bf{ \color{Red} {\boxed{h \to 0}} } \)
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM
http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
Copyright © 2011-2017 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
