Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen beskrivs av funktionen: \[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \] där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \) \[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \] a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet        från början tills tanken är tom.

c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \).

Lösning:

a)  Se grafen ovan.

b)  Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.

Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\( \qquad 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \qquad \) Räknarens ekvationslösare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.

Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \).

I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = \color{Red} {-200} \]

Dvs i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.

c)  Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]

\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = \color{Red} {-180} \]

Dvs i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.

Exempel 3 Oljetank (forts.)

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten enligt: \[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \] där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \) \[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \] När är oljans utströmningshastighet störst? Kan vi beräkna den? Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, \color{Red} {0,1} \, \). Tolka resultatet.

Lösning:

Fysiken lär oss att oljans utströmningshastighet är störst när volymen och därmed trycket på hålet är störst, dvs i början.

Även grafen visar att kurvans lutning är (till beloppet) störst vid tiden \( \, x = 0\, \) när oljan har den största volymen \( \, 9\,000 \) liter.

Därför är utströmningshastigheten störst vid tiden \( x = 0 \) vilken vi dock inte kan beräkna, därför att \( x = 0 \) är en punkt och inte ett intervall:

Denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig eller momentan. Men vi kan närma oss den.

Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, \color{Red} {0,1} \, \):

\[ f\,(\color{Red} {0,1}) = 4 \cdot \color{Red} {0,1}\,^2 - 380 \cdot \color{Red} {0,1} + 9\,000 = 8962,04 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(\color{Red} {0,1}) \, - \, f(0) \over \color{Red} {0,1} - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over \color{Red} {0,1}} = {-37,96 \over {\color{Red} {0,1}}} \, = \, \color{Red} {-379,6} \]

I intervallet \( \, 0 \leq x \leq \color{Red} {0,1} \, \) sjunker oljans volym med \( \, 379,6\, \) liter per minut.

Tolkning: Detta är ett närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( \, x = 0\, \) (exakta värdet).

Faktiskt är det inget dåligt närmevärde, för det exakta värdet kommer att visa sig vara \( -380 \), se Derivatans definition.

För att kunna definiera derivatan behöver vi konceptet Gränsvärde, där man låter intervallets längd gå mot \( \, 0\, \): \( \quad \bf{ \color{Red} {\boxed{h \to 0}} } \)