Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|< | + | {{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata| << Förra avsnitt]]}} |
{{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}} | {{Selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}} | ||
{{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}} | ||
Versionen från 17 oktober 2016 kl. 10.47
| << Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa demoavsnitt >> |
Lektion 13: Genomsnittlig förändringshastighet
Tre exempel på genomsnittlig förändringshastighet
Exempel 1 Marginalskatt
Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.
I Skatteverkets skattetabell för 2015 (tabell 29, kolumn 2) hittar vi
\( \, 5\;297 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;676 \, \) kr skatt för den nya lönen.
Beräkna marginalskatten som är skattens procentuella andel i varje mer intjänad krona.
Matematiskt är marginalskatten skattens genomsnittliga förändringshastighet när skatten uppfattas som en funktion av lönen.
Lösning:
Skatten \( \, y \, \) kan definieras som en diskret funktion av lönen \( \, x\, \) i tabellform:
|
\( \qquad\qquad \) | \( x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \)
\( y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \) |
Förhållandet (kvoten) mellan skattehöjning och lönehöjning kallas för funktionen \( \, y\):s genomsnittliga förändringshastighet:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,676 - 5\,297 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; {\color{Red} {0,316}} \; = \; 31,6 \, \%\]
I intervallet \( \; 23\,000 \,\leq\, x \,\leq\, 24\,200 \, \) har funktionen \( \, y \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \; {\color{Red} {0,316}} \).
Dvs \( \, y \, \) växer i detta intervall med \( {\color{Red} {0,316}} \; y\)-enheter per \( x\)-enhet.
Ekonomisk tolkning: Martin måste betala \( \, 31,6\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona. Man säger: marginalskatten är \( \, 31,6 \, \% \).
Vi ersätter nu den diskreta skattefunktionen i tabellform med en kontinuerlig funktion som är given med ett algebraiskt uttryck:
Exempel 2 Kvadratisk funktion
Givet: Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \). Lösning:
I intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \, \) har funktionen \( \, y = x^2 \, \) den genomsnittliga förändringshastigheten \( \, {\color{Red} 2} \). Dvs funktionen \( \, y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( \, {\color{Red} 2} \; y\)-enheter per \( \, x\)-enhet. |
 |
Geometrisk tolkning: Om man ersätter kurvan \( \, y = x^2 \, \) med en rät linje har denna linje som kallas för kurvans sekant, lutningen \( \, {\color{Red} 2} \).
- Sekantens lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).
Exempel 3 Oljetank
| En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
a) Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. b) Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet från början tills tanken är tom. c) Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \). d) När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet. |
 |
Lösning:
a) Se grafen ovan.
b) Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter.
- Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
\( \qquad 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \qquad \) Räknarens ekvationslösare visar att \( \, x = 45\, \) är även den exakta lösningen.
- Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom: \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \).
- I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 \]
- Dvs i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 45 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.
c) Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \):
- \[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
- \[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 \]
- Dvs i intervallet \( \, 20 \leq x \leq 30 \, \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.
d) Grafen i a) visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter.
- Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt.
- Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller momentan.
- För att beräkna den momentana (exakta) utströmningshastigheten vid tiden \( \, x = 0\, \) måste man bestämma funktionen \( \, y\, \):s derivata.
- För att närma oss den exakta hastigheten vid tiden \( \, x = 0\, \) väljer vi ett så litet tidsintervall som möjligt med \( \, x = 0\, \) som undre intervallgräns.
- Låt oss t.ex. välja intervallet \( \, 0 \leq x \leq 0,1 \, \):
- \[ f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 \]
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 \]
- I intervallet \( \, 0 \leq x \leq 0,1 \, \) sjunker oljans volym med \( 379,6\, \) liter per minut.
- Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde, för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) (exakta värdet) är \( -380\, \).
- I avsnittet 2.4 Derivatans definition kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.
Allmän definition
Givet: Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.
- Något intervall på \( x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).
Sökt: Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).
Lösning: \( \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {\boxed {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}}} \quad {\rm Detta\;uttryck\;har\;använts\;i\;exemplen\;ovan.} \)
En annan form får vi om vi inför en ny beteckning \( \, h\, \) för intervallets längd:
- \[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]
Om vi nu i det inramade uttrycket ovan ersätter \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \), får vi den allmänna definitionen:
Funktionen \( \, y = f\,(x)\):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden \( \, h \, \) är:
- \( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)
Observera att den genomsnittliga förändringshastigheten endast kan definieras i ett givet intervall på \( \, x\)-axeln.
Beteckningar
Uttrycket \( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \quad \) kommer att användas i fortsättningen i detta kapitel och har ett antal beteckningar
som allihopa är synonymer:
- Genomsnittlig förändringshastighet
- Förändringskvot
- Ändringskvot
- Differenskvot
Kärt barn har många namn.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I
http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM
http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
