Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet:        Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \) Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \) Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \). Lösning: \[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} \] I intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \) ersätts kurvan \( \, y = x^2 \, \) av en rät linje vars lutning är kurvans genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade \( \,x\)-intervallet.

Funktionen \( y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( 2 \; y \)-enheter per \( \, x\)-enhet.

Detta innebär att kurvans lutning och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet är \( \ {\color{Red} 2} \).

Allmän definition

Givet:        Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning:     \( \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}} \)

Uttrycket ovan har använts i exemplen \( \, 1\)-\(2 \).

En enklare form på uttrycket får man om man inför den nya beteckningen \( h\, \) för intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

I formeln ovan ersätter vi \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \). Då kan vi definiera:

Observera att en funktions genomsnittliga förändringshastighet endast kan definieras i ett givet intervall på \( \, x\)-axeln.

Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen: \[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \] där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \) \[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \] a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen. b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet        från början tills tanken är tom. c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \). d)    När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.

Lösning:

a)    Se grafen ovan.

b)    Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter. Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]

Räknarens ekvationslösare visar att \( x = 45\, \) är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom \( 0 \leq x \leq 45 \). I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 \]

I hela tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.

c)    Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]

\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 \]

I tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.

d)    Grafen i a) visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller momentan.

För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) måste man bestämma funktionen \( y\, \):s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.

För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med \( x = 0\, \) som undre intervallgräns.

Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \):

\[ f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 \]

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 \]

I tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \) sjunker oljans volym med \( 379,6\, \) liter per minut.

Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \), för det exakta värdet är \( -380\, \). I avsnittet 2.4 Derivatans definition kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf