Skillnad mellan versioner av "2.2 Genomsnittlig förändringshastighet"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
Rad 9: Rad 9:
  
  
 
+
[[Media: Lektion_16_Genomsnittlig_forandringshastig.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 17: Genomsnittlig förändringshastighet</span></strong>]]
[[Media: Lektion_16_Genomsnittlig_forandringshastig.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 16: Genomsnittlig förändringshastighet</span></strong>]]
+
__NOTOC__
__NOTOC__ <!-- __TOC__ -->
+
<big>
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 1 Marginalskatt</span></b> ===
 
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
 
Martins månadslön höjs från <math> \, 23\;000 \, </math> kr till <math> \, 24\;200 \, </math> kr.
  
I [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2014 (sida 2, kolumn 2) hittar vi <math> \, 5\;302 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;681 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
+
I [https://www.skatteverket.se/download/18.3f4496fd14864cc5ac9f637/1424778677969/manadslon_manad.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2015 (tabell 29, kolumn 2) hittar vi <math> \, 5\;297 \, </math> kr skatt för den gamla och <math> \, 5\;676 \, </math> kr skatt för den nya lönen.
  
Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för ''marginalskatt''.
+
Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för &nbsp;<b><span style="color:#931136">marginalskatt</span></b>&nbsp;.
  
 
'''Lösning:'''
 
'''Lösning:'''
  
Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Detta innebär att skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:
+
Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Dvs skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:
  
 
:::<math> x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
 
:::<math> x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>
Rad 28: Rad 28:
 
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
 
:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>
  
Då blir <math> y\, </math> är en funktion av <math> x\, </math> som i det här fallet inte är definierad med en formel utan i tabellform:  
+
Då blir <math> y\, </math> är en diskret funktion av <math> x\, </math> som är definierad i tabellform:  
 
::{| class="wikitable"
 
::{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math>  
 
|-
 
|-
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,302 </math>  
+
| align=center| <math> 23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,297</math>  
 
|-
 
|-
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,681 </math>
+
| align=center| <math> 24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,676 </math>
 
|}
 
|}
  
 
Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:
 
Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:
  
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,681 - 5\,302 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; 0,316  \; = \; 31,6 \, \%</math>
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,676 - 5\,297 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; {\color{Red} {0,316}} \; = \; 31,6 \, \%</math>
  
Marginalskatten är därmed <math>31,6 \, \% </math>, vilket i praktiken innebär att Martin måste betala <math>31,6\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
+
Marginalskatten är därmed <math>31,6 \, \% </math>, vilket betyder att Martin måste betala <math>31,6\,</math> öre i skatt för varje mer intjänad krona.
  
 
Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen <math>\,y</math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i det betraktade <math>\,x</math>-intervallet.
 
Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen <math>\,y</math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i det betraktade <math>\,x</math>-intervallet.
Rad 49: Rad 49:
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Oljetank</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 2 Kvadratisk funktion</span></b> ===
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
   <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
+
   <td>'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math>
  
Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
+
:::Intervallet <math> \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math>
  
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
+
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math>.
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
+
  
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
+
'''Lösning''':
 +
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} </math>
  
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
+
I intervallet <math> \, 0 \leq x \leq 2 </math> ersätts kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> av en <strong><span style="color:red">rät linje</span></strong> vars <strong><span style="color:red">lutning</span></strong> är kurvans <strong><span style="color:red">genomsnittliga</span></strong>
  
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet
+
<strong><span style="color:red">förändringshastighet</span></strong> i det betraktade <math> \,x</math>-intervallet.
  
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;från början tills tanken är tom.
 
 
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>.
 
 
'''d)''' &nbsp;&nbsp; När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.
 
 
</td>
 
</td>
   <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
+
   <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
 +
 +
Funktionen <math> y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> 2 \; y </math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet.
 +
 +
Detta innebär att kurvans lutning och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet är <math> \ {\color{Red} 2} </math>.
 
</div> <!-- exempel2 -->
 
</div> <!-- exempel2 -->
  
  
'''Lösning:'''
+
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
 +
'''Givet''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
  
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Se grafen ovan.
+
:::Något intervall på <math> x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
  
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Grafen tyder pår att tanken är tom efter ca. 45 minuter. Den exakta tiden får man genom att lösa 2:a gradsekvationen:
+
'''Sökt''': &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
  
:::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
+
'''Lösning''': &nbsp; &nbsp; <math> \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}} </math>
  
[[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Räknarens ekvationslösare</span></strong>]] visar att <math> x = 45\, </math> är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom <math> 0 \leq x \leq 45 </math>. I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
+
Uttrycket ovan har använts i exemplen <math> \, 1</math>-<math>2 </math>.
  
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 </math>
+
En enklare form på uttrycket får man om man inför den nya beteckningen <math> h\, </math> för intervallets längd:
  
I hela tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 45 </math> sjunker oljans volym med 200 liter per minut.
+
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
 +
                  x_1 + h & = x_2                                \\
 +
          \end{align}</math>
  
 +
I formeln ovan ersätter vi <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>. Då kan vi definiera:
  
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>:
 
  
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
+
<div class="border-divblue">
 +
<b><span style="color:#931136">Funktionen <small><math> \, y = f\,(x)</math></small>:s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden <small><math> \, h \, </math></small>:</span></b>
  
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
 
  
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 </math>
+
:::<small><math> \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math></small>
 +
</div>
  
I tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math> sjunker oljans volym med 180 liter per minut.
 
  
 +
Observera att en funktions genomsnittliga förändringshastighet endast kan definieras i ett givet intervall på <math> \, x</math>-axeln.
  
'''d)''' &nbsp;&nbsp; Grafen i '''a)''' visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym, nämligen <math> 9\,000 </math> liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller <strong><span style="color:red">momentan</span></strong>.
 
  
För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> måste man bestämma funktionen <math> y\, </math>:s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.
+
<div class="exempel">
 +
==== <b><span style="color:#931136">Beteckningar</span></b> ====
  
För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med <math> x = 0\, </math> som undre intervallgräns.
+
Kärt barn har många namn: &nbsp; Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:
  
Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math>:
+
::::::::<strong><span style="color:red">Genomsnittlig förändringshastighet</span></strong>
  
:::<math> f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 </math>
+
::::::::<strong><span style="color:red">Förändringskvot</span></strong>
  
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 </math>
+
::::::::<strong><span style="color:red">Ändringskvot</span></strong>
  
I tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math> sjunker oljans volym med <math> 379,6\, </math> liter per minut.
+
::::::::<strong><span style="color:red">Differenskvot</span></strong>
 
+
</div>
Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math>, för det exakta värdet är <math> -380\, </math>. I avsnittet [[Detta avsnitt ingår inte i demon.|<strong><span style="color:blue">2.4 Derivatans definition</span></strong>]] kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.
+
  
  
 
<div class="exempel">
 
<div class="exempel">
== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Kvadratisk funktion</span></b> ==
+
=== <b><span style="color:#931136">Exempel 3 Oljetank</span></b> ===
 
<table>
 
<table>
 
<tr>
 
<tr>
   <td>'''Givet''':
+
   <td>En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.
:::<big> Funktionen <math> y \, = \, f(x) \, = \, x^2 </math> </big>
+
  
:::<big> Intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 </math> </big>
+
Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
  
'''Sökt''':
+
:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
::<big> Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i <math> \, x</math>-intervallet. </big>
+
där <math> \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>
  
'''Lösning''':
+
:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} </math>
+
  
 +
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.
 +
 +
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet
 +
 +
&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;från början tills tanken är tom.
 +
 +
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>.
 +
 +
'''d)''' &nbsp;&nbsp; När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.
 
</td>
 
</td>
   <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex1a.jpg]]</td>
+
   <td>&nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; [[Image: Ex2a.jpg]]</td>
 
</tr>
 
</tr>
 
</table>
 
</table>
<big>
 
I <math> \, x</math>-intervallet ersätts kurvan <math> \, y = x^2 \, </math> av en <strong><span style="color:red">rät linje</span></strong> vars <strong><span style="color:red">lutning</span></strong> är kurvans <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i intervallet <math> 0 \leq x \leq 2 </math>:
 
 
Funktionen <math> y = x^2 \, </math> växer i detta intervall med <math> 2 \; y </math>-enheter per <math> \, x</math>-enhet, vilket innebär att lutningen och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet där är <math> \ {\color{Red} 2} </math>.
 
</big>
 
 
</div> <!-- exempel3 -->
 
</div> <!-- exempel3 -->
  
  
== <b><span style="color:#931136">Allmän definition</span></b> ==
+
'''Lösning:'''
<div class="tolv"> <!-- tolv1 -->
+
'''Givet''':
+
  
:::Funktionen <math> y \, = \, f\,(x) </math> i form av en formel, tabell eller graf.
+
'''a)''' &nbsp;&nbsp; Se grafen ovan.
  
:::Något intervall på <math> x\, </math>-axeln med givna gränser <math> \, x_1 \, </math> och <math> \, x_2 \, </math> dvs <math> \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math>.
+
'''b)''' &nbsp;&nbsp; Grafen tyder att tanken kommer att vara tom efter ca. <math> \, 45 \, </math> minuter. Den exakta tiden får man genom att sätta volymen <math> \, y \, </math> till <math> \, 0 \, </math> dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:
  
'''Sökt''':
+
:::<math> 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 </math>
  
:::Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i detta intervall.
+
[[1.1_Fördjupning_till_Polynom#Digital_ber.C3.A4kning_av_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Räknarens ekvationslösare</span></strong>]] visar att <math> x = 45\, </math> är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom <math> 0 \leq x \leq 45 </math>. I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:
  
 +
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 </math>
  
'''Lösning''':
+
I hela tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 45 </math> sjunker oljans volym med <math> \, 200 \, </math> liter per minut.
  
Funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s genomsnittliga förändringshastighet i intervallet <math> x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 </math> kan vi enligt exemplen 1-3 börja att skriva så här:
 
  
::::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1} </math>
+
'''c)''' &nbsp;&nbsp; Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math>:
  
En enklare form på uttrycket ovan får man om man inför den nya beteckningen <math> h\, </math> för intervallets längd:
+
:::<math> f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 </math>
  
::::<math>\begin{align} h & = x_2 - x_1  \qquad  & | \; + \, x_1 \\
+
:::<math> f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 </math>
                  x_1 + h & = x_2                                \\
+
          \end{align}</math>
+
  
I formeln ovan ersätter vi <math> \, x_2 </math> med <math> \,x_1 + h </math> och <math> \, x_2 - x_1 </math> med <math> \, h </math>.
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 </math>
  
 +
I tidsintervallet <math> 20 \leq x \leq 30 </math> sjunker oljans volym med <math> \, 180 \, </math> liter per minut.
  
Funktionen <math> y = f\,(x) </math>:s <strong><span style="color:red">genomsnittliga förändringshastighet</span></strong> i ett intervall kan då definieras som:
 
  
 +
'''d)''' &nbsp;&nbsp; Grafen i '''a)''' visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym, nämligen <math> 9\,000 </math> liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller <strong><span style="color:red">momentan</span></strong>.
  
<div class="border-div2">
+
För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> måste man bestämma funktionen <math> y\, </math>:s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.
<math> \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math>
+
</div>
+
  
 +
För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math> så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med <math> x = 0\, </math> som undre intervallgräns.
  
<div class="exempel">
+
Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math>:
'''Beteckningar:'''
+
  
Kärt barn har många namn: &nbsp; Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:
+
:::<math> f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 </math>
  
::::::::Genomsnittlig förändringshastighet
+
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 </math>
  
::::::::Förändringskvot
+
I tidsintervallet <math> 0 \leq x \leq 0,1 </math> sjunker oljans volym med <math> 379,6\, </math> liter per minut.
  
::::::::Ändringskvot
+
Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden <math> x = 0\, </math>, för det exakta värdet är <math> -380\, </math>. I avsnittet [[2.4 Derivatans definition|<strong><span style="color:blue">2.4 Derivatans definition</span></strong>]] kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.
 
+
::::::::Differenskvot
+
</div>
+
</div> <!-- tolv1 -->
+
  
  
Rad 207: Rad 202:
  
 
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
 
http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf
 
+
</big>
  
  

Versionen från 9 oktober 2015 kl. 14.25

       <-- Förra avsnitt          Genomgång          Övningar          Nästa demoavsnitt -->      


Lektion 17: Genomsnittlig förändringshastighet

Exempel 1 Marginalskatt

Martins månadslön höjs från \( \, 23\;000 \, \) kr till \( \, 24\;200 \, \) kr.

I Skatteverkets skattetabell för 2015 (tabell 29, kolumn 2) hittar vi \( \, 5\;297 \, \) kr skatt för den gamla och \( \, 5\;676 \, \) kr skatt för den nya lönen.

Beräkna skattens genomsnittliga förändringshastighet som kallas för  marginalskatt .

Lösning:

Skatten ökar med lönen. Den är beroende av lönen. Dvs skatten är en funktion av lönen. Vi inför följande beteckningar:

\[ x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} \]
\[ y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} \]

Då blir \( y\, \) är en diskret funktion av \( x\, \) som är definierad i tabellform:

\( x\, \) \( y\, \)
\( 23\,000 \) \( 5\,297\)
\( 24\,200 \) \( 5\,676 \)

Marginalskatten är skattens genomsnittliga förändringshastighet, dvs:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} = {{\rm Skattehöjningen} \over {\rm Lönehöjningen}} = {5\,676 - 5\,297 \over 24\,200 - 23\,000} \; = \; {379 \over 1200} \; = \; {\color{Red} {0,316}} \; = \; 31,6 \, \%\]

Marginalskatten är därmed \(31,6 \, \% \), vilket betyder att Martin måste betala \(31,6\,\) öre i skatt för varje mer intjänad krona.

Matematiskt uttryckt har vi beräknat funktionen \(\,y\):s genomsnittliga förändringshastighet i det betraktade \(\,x\)-intervallet.


Exempel 2 Kvadratisk funktion

Givet:        Funktionen \( \, y \, = \, f(x) \, = \, x^2 \)
Intervallet \( \, 0 \,\leq\, x \,\leq\, 2 \)

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \).

Lösning:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {f(2) \, - \, f(0) \over 2 - 0} \; = \; {2^2 \, - \, 0^2 \over 2 - 0} \; = \; {4 \, - \, 0 \over 2} \; = \; {4 \over 2} \; = \; {\color{Red} 2} \]

I intervallet \( \, 0 \leq x \leq 2 \) ersätts kurvan \( \, y = x^2 \, \) av en rät linje vars lutning är kurvans genomsnittliga

förändringshastighet i det betraktade \( \,x\)-intervallet.

        Ex1a.jpg

Funktionen \( y = x^2 \, \) växer i detta intervall med \( 2 \; y \)-enheter per \( \, x\)-enhet.

Detta innebär att kurvans lutning och därmed funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet är \( \ {\color{Red} 2} \).


Allmän definition

Givet:        Funktionen \( y \, = \, f\,(x) \) i form av en formel, tabell eller graf.

Något intervall på \( x\, \)-axeln med givna gränser \( \, x_1 \, \) och \( \, x_2 \, \) dvs \( \; x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Sökt:         Funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( \, x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_2 \).

Lösning:     \( \displaystyle{{\Delta y \over \Delta x} = {y\, {\rm:s\;ändring} \over x\, {\rm:s\;ändring}} \; = \; {y_2 - y_1 \over x_2 - x_1} \; = \; {f(x_2) \, - \, f(x_1) \over x_2 - x_1}} \)

Uttrycket ovan har använts i exemplen \( \, 1\)-\(2 \).

En enklare form på uttrycket får man om man inför den nya beteckningen \( h\, \) för intervallets längd:

\[\begin{align} h & = x_2 - x_1 \qquad & | \; + \, x_1 \\ x_1 + h & = x_2 \\ \end{align}\]

I formeln ovan ersätter vi \( \, x_2 \) med \( \,x_1 + h \) och \( \, x_2 - x_1 \) med \( \, h \). Då kan vi definiera:


Funktionen \( \, y = f\,(x)\):s genomsnittliga förändringshastighet i ett intervall av längden \( \, h \, \):


\( \quad \displaystyle {{\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h}} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \)


Observera att en funktions genomsnittliga förändringshastighet endast kan definieras i ett givet intervall på \( \, x\)-axeln.


Beteckningar

Kärt barn har många namn:   Uttrycken i definitionen ovan har ett antal beteckningar som allihopa är synonymer:

Genomsnittlig förändringshastighet
Förändringskvot
Ändringskvot
Differenskvot


Exempel 3 Oljetank

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten.

Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( \; \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a)    Rita grafen till funktionen som beskriver utströmningen.

b)    Hur stor är oljans genomsnittliga utströmningshastighet i hela tidsintervallet

       från början tills tanken är tom.

c)    Beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \).

d)    När är oljans utströmningshastighet störst? Beräkna ett närmevärde till denna hastighet.

        Ex2a.jpg


Lösning:

a)    Se grafen ovan.

b)    Grafen tyder på att tanken kommer att vara tom efter ca. \( \, 45 \, \) minuter. Den exakta tiden får man genom att sätta volymen \( \, y \, \) till \( \, 0 \, \) dvs genom att lösa 2:a gradsekvationen:

\[ 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 = 0 \]

Räknarens ekvationslösare visar att \( x = 45\, \) är den exakta tiden. Därför är hela tidsintervallet från början tills tanken är tom \( 0 \leq x \leq 45 \). I detta intervall är oljans genomsnittliga utströmningshastighet:

\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(45) \, - \, f(0) \over 45 - 0} = {0 \, - \, 9000 \over 45} = {-9000 \over 45} = -200 \]

I hela tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 45 \) sjunker oljans volym med \( \, 200 \, \) liter per minut.


c)    Oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \):

\[ f\,(30) = 4 \cdot 30^2 - 380 \cdot 30 + 9\,000 = 1200 \]
\[ f\,(20) = 4 \cdot 20^2 - 380 \cdot 20 + 9\,000 = 3000 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(30) \, - \, f(20) \over 30 - 20} = {1200 \, - \, 3000 \over 30 - 20} = {-1800 \over 10} = -180 \]

I tidsintervallet \( 20 \leq x \leq 30 \) sjunker oljans volym med \( \, 180 \, \) liter per minut.


d)    Grafen i a) visar att kurvans lutning är störst i början dvs vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter. Därför är även oljans utströmningshastighet störst vid denna tidpunkt. Men denna hastighet är inte längre genomsnittlig i något intervall utan ögonblicklig vid en viss tidpunkt eller momentan.

För att beräkna den momentana och därmed den exakta utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) måste man bestämma funktionen \( y\, \):s exakta derivata, vilket vi inte lärt oss ännu.

För att approximera den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \) så noggrant som möjligt måste vi välja ett så litet tidsintervall som möjligt med \( x = 0\, \) som undre intervallgräns.

Låt oss t.ex. beräkna oljans genomsnittliga utströmningshastighet i tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \):

\[ f\,(0,1) = 4 \cdot 0,1^2 - 380 \cdot 0,1 + 9\,000 = 8962,04 \]
\[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(0,1) \, - \, f(0) \over 0,1 - 0} = {8962,04 \, - \, 9000 \over 0,1} = {-37,96 \over 0,1} = -379,6 \]

I tidsintervallet \( 0 \leq x \leq 0,1 \) sjunker oljans volym med \( 379,6\, \) liter per minut.

Faktiskt är denna approximation inget dåligt närmevärde för den momentana utströmningshastigheten vid tiden \( x = 0\, \), för det exakta värdet är \( -380\, \). I avsnittet 2.4 Derivatans definition kommer vi att lära oss hur man får reda på det exakta värdet.


Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=08yI3grz17I

http://www.youtube.com/watch?v=Cze2KrRhHiM

http://www.iceclimbers.net/fil/matematik_c/12.genomsnittlig_forandringshastighet.pdf

http://ingforum.haninge.kth.se/matCD/F%F6rel%E4sning01.pdf




Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.