Skillnad mellan versioner av "1.1 Fördjupning till Polynom"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 85: | Rad 85: | ||
</table> | </table> | ||
| − | Tryck på knappen GRAPH vilket borde rita grafen ovan om allt har gått bra. | + | Låt resten stå. Tryck på knappen GRAPH vilket borde rita grafen ovan om allt har gått bra. |
| − | + | Kurvans skärningspunkt med <math> \, x</math>-axeln borde visa det ungefärliga värdet, nämligen <math> \, 1,9 \, </math>. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
Dvs polynomets nollställe är <math>\,\approx 1,9 </math> eller höjden y är 0 (Marie slår i vattnet) efter <math> \, \underline{x\, \approx 1,9\,\,{\rm sek}} </math>. | Dvs polynomets nollställe är <math>\,\approx 1,9 </math> eller höjden y är 0 (Marie slår i vattnet) efter <math> \, \underline{x\, \approx 1,9\,\,{\rm sek}} </math>. | ||
Versionen från 30 augusti 2015 kl. 18.51
| Repetition: Ekvationer & Potenser | Genomgång | Övningar | Fördjupning | Nästa demoavsnitt --> |
Lektion 2-3 Polynom: Fördjupning
Digital beräkning av nollställen
Exempel
Simhopp från 10-meterstorn
Marie tävlar i simhopp från 10-meterstorn. Hennes hopp följer en bana som beskrivs av:
- \[ y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \]
där \( \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder\;efter\;hon\;lämnat\;brädan} \)
- \[ y \, = \, {\rm Hennes\;höjd\;över\;vattnet\;i\;meter} \]
a) Rita grafen till funktionen som beskriver Maries hopp i din räknare.
b) När slår Marie i vattnet? Ange svaret med 4 decimaler.
- Använd din räknares ekvationslösare för att bestämma polynomets nollställe,
- dvs lösa 2:a gradsekvationen:
- \[ - 5\,x^2 + 4\,x + 10 = 0 \]
Lösning
Beskrivningen som ges här bygger på grafräknaren TI-82 STATS, men kan med lite modifikation tillämpas på alla grafräknare.
Grafritning
a) Rita grafen till funktionen \( \; y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \; \) i din räknare.
Tryck på knappen Y= och skriv in funktionsuttrycket där markören står.
Efter inmatningen ska stå där:
Y1=(-)5X^2+4X+10
Tryck på ENTER.
Tryck på WINDOW.
Mata in följande min-/max-värden samt skala för din räknares display (WINDOW):
|
 |
Låt resten stå. Tryck på knappen GRAPH vilket borde rita grafen ovan om allt har gått bra.
Kurvans skärningspunkt med \( \, x\)-axeln borde visa det ungefärliga värdet, nämligen \( \, 1,9 \, \).
Dvs polynomets nollställe är \(\,\approx 1,9 \) eller höjden y är 0 (Marie slår i vattnet) efter \( \, \underline{x\, \approx 1,9\,\,{\rm sek}} \).
Vi kan använda detta närmevärde i nästa steg som startvärde för kalkylatorns ekvationslösare som kommer att precisera polynomets nollställe.
Ekvationslösning
b) När slår Marie i vattnet? Lös ekvationen \( \; - 5\,x^2 + 4\,x + 10 = 0 \; \) med 4 decimalers noggrannhet.
Tryck i miniräknaren på knappen MATH.
Gå med piltangenten till Solver...
Tryck på ENTER.
Mata in polynomet där markören står så att det efteråt står följande två rader i displayen:
EQUATION SOLVER
eqn:0=(-)5X^2+4X+10
Tryck först på knappen ALPHA (orange) och sedan på SOLVE (i orange ovanpå ENTER).
Mata in startvärdet \( x\, \approx 1,9 \) som vi fick fram i a) och tryck en gång till på först ALPHA och sedan SOLVE.
Värdet x = 1,8696938456... visas i displayen vilket betyder:
Marie slår i vattnet efter \( \underline{1,8697\,\,{\rm sek}}\).
Simhopp från 10-meterstorn - del 2
Hämtar...
Polynomfunktioner av högre grad
När ett polynom tilldelas en annan variabel, säg \( \, y \, \) bildas en polynomfunktion. I Matte 1-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ:
- \[ y = 4\,x + 12 \]
Till höger om likhetstecknet står ett polynom där \( \, x \, \) förekommer som 1:a gradspotens dvs med exponenten \( \, 1 \, \). Därför kallas \( \, 4\,x \, \) polynomets linjära term. Polynomets konstanta term är \( \, 12 \). Grafen till denna 1:a gradsfunktion är en rät linje. I Matte 2-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ:
- \[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]
Här är graden \( \, 2 \). Den kvadratiska termen är \( \, 3\,x^2 \, \), den linjära termen \( \, 5\,x\, \) och den konstanta termen \( \, -16 \). Grafen till denna 2:a gradfunktion är en parabel. Dessa funktioner kallas polynomfunktioner därför att uttrycken till höger om likhetstecken är polynom, dvs summor av termer där exponenterna till \( \, x\)-potenserna är positiva heltal eller \( \, 0 \). I Matte 3-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än \( \, 2 \).
Exempel på polynomfunktion av högre gradVi tar som exempel följande 4:e gradspolynomfunktion:
vars graf till höger är mer komplicerad än en parabel. Den har framför allt fler minima, maxima och nollställen. Funktionens fyra nollställen är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen:
|
 |
Chebyshevpolynom
Ett polynoms grad är ett mått på dess komplexitet. För att se hur komplexiteten växer med graden ska vi titta på följande sex polynom vars grafer är ritade i samma koordinatsystem. Man ser att kurvorna svänger oftare och får fler maxima/minima ju högre deras grad är:
 |
Fil:Chebyshev Polyn 2nd 60.jpg |
Polynomen \(U_n(x)\,\) bildar en familj eller följd av polynom där varje polynom har ett index \( \, n \,\) som samtidigt är polynomets grad.
De nedsänkta indexen \(_0,\,_1,\,_2,\,_3,\,_4,\,_5\) i beteckningarna \(U_0, U_1, U_2, U_3, U_4, U_5\,\) används här både för att relatera indexet till polynomets grad och kunna sedan (några rader längre fram) skriva en formel för dessa polynom som kommer att visa hur de hänger ihop som en familj.
Dessa polynom kallas efter den ryske matematikern Chebyshev som presenterade dem 1854. De är relaterade till varandra med följande rekursionsformel:
\( U_n(x) = 2\,x\,\cdot\,U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \qquad\qquad n = 2, 3, ... \)
\( U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2\,x \)
Denna formel ger oss möjligheten att ta fram Chebyshevpolynomen rekursivt (successivt). Detta betyder att vi kan ställa upp ett polynom med hjälp av de två föregående. De första två Chebyshevpolynomen \( \, U_0, \, U_1 \, \) är explicit angivna (i den andra raden). Det tredje Chebyshevpolynomet \(U_2\,\) får man genom att sätta in \( \, U_0, \, U_1 \,\) i högerledet av rekursionsformeln (i den första raden). Det fjärde Chebyshevpolynomet \( \, U_3 \, \) får man genom att sätta in \( \, U_1, \, U_2 \, \) i högerledet osv.
Alla Chebyshevpolynom definieras och genereras av rekursionsformeln ovan därför att de kan beräknas utgående från de två första. Ett exempel visas nedan.
Exempel på beräkning av Chebyshevpolynom
Ställ upp de Chebyshevpolynomen \( \, U_2, \, U_3, \, U_4\,\) med hjälp av de två första \( \, U_0, \, U_1 \).
- \[ \displaystyle U_0(x) = \underline{1} \]
- \[ U_1(x) = \underline{2\,x} \]
För \(n = 2\,\) ger rekursionsformeln:
- \[ U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\,\cdot\,2\,x\,-\,1 = \underline{4\,x^2\,-\,1} \]
Sedan kan vi få fram \( U_3(x) \) genom att att sätta in n = 3 i rekursionsformeln:
- \[ U_3(x) = 2\,x\,\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\,\cdot\,(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = \underline{8\,x^3\,-\,4\,x} \]
För \(n = 4\,\) ger rekursionsformeln \( U_4(x) \) osv.:
- \[ U_4(x) = 2\,x\,\cdot\,U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\,\cdot\,(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = \underline{16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1} \]
Förfarandet är rekursivt eftersom man ställer upp nästa polynom med hjälp av de två föregående. Att räkna med polynom lärde vi oss i genomgången av polynom.
Jämförelse av koefficienter
Jämförelse av koefficienter är en teknik eller en metod som vi kommer att använda för att lösa högre gradsekvationer genom att faktorisera polynom av högre grad än 2, se övningarna 10-12. Metoden bygger på begreppet likhet mellan polynom.
Definition: \( \quad \) Två polynom
- \[ \; P(x) = a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]
- \[ \; Q(x) = b_n \cdot x^n + b_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad \ldots \quad + b_1 \cdot x + b_0 \]
är lika med varandra om de har samma grad och om alla deras motsvarande koefficienter, dvs om:
- \[ \; a_n = b_n, \qquad a_{n-1} = b_{n-1}, \qquad \ldots \qquad a_1 = b_1, \qquad a_0 = b_0 \]
Exempel 1
Följande två polynom är givna där \( a\, \) och \( b\, \) är konstanter medan \( x\, \) är polynomens oberoende variabel:
- \[ P(x) = a \cdot x + 2\,a + b \]
- \[ Q(x) = 2\,x + 1\!\, \]
För vilka värden på \( a\, \) och \( b\, \) är de två polynomen lika med varandra?
Lösning:
Vi skriver \( P(x),\, \) och \( Q(x)\, \) så att vi lättare kan se motsvarande koefficienter:
- \[ P(x) = a \cdot x^1 + (2\,a + b) \cdot x^0 \]
- \[ Q(x) = 2 \cdot x^1 + \quad\;\; 1 \quad\;\; \cdot x^0 \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^1\, \) leder till:
- \[ a = 2\,\]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \,\) leder till:
- \[ 2\,a + b = 1\!\,\]
Sätter man in \( a = 2\, \) i denna relation får man \( b = -3\, \).
Polynomen \( P(x)\, \) och \( Q(x)\, \) är lika med varandra för:
- \[ a = 2\, \]
- \[ b = -3\, \]
Exempel 2
Följande 3:e gradspolynom är givet
- \[ P(x) = x^3 + 4\,x^2 + x - 26 \]
Hitta ett 2:a gradspolynom \( Q(x)\, \) så att:
- \[ Q(x)\cdot (x-2) = P(x) \]
Lösning:
Det 2:a gradspolynomet \( Q(x)\, \) kan skrivas så här:
- \[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]
Vi bestämmer koefficienterna \( a\, , \, b\, \) och \( c\, \) så att \( {\color{White} x} Q(x)\cdot (x-2) \, = \, P(x) \)
- \[\begin{array}{rclc} Q(x) \cdot (x - 2) & = & (a\,x^2 + b\,x + c)\cdot (x - 2) & = \\ & = & a\,x^3 - 2\,a\,x^2 + b\,x^2 - 2\,b\,x + c\,x - 2\,c & = \\ & = & a\,x^3 + (-2\,a + b)\,x^2 + (-2\,b + c)\,x - 2\,c & = \\ & = & a \cdot x^3 + (-2\,a + b) \cdot x^2 + (-2\,b + c) \cdot x - 2\,c \cdot x^0 & \\ P(x) & = & 1 \cdot x^3 + \quad\;\;\;\;4 \quad\;\; \cdot x^2 + \quad\;\;\;\,1 \quad\;\; \cdot x - 26 \cdot x^0 \end{array} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^3 \)-termen ger:
- \[ a = 1 \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^2 \)-termen ger:
- \[\begin{align} -2\,a + b & = 4 \\ -2\cdot 1 + b & = 4 \\ - 2 + b & = 4 \\ b & = 6 \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^1 \)-termen ger:
- \[\begin{align} -2\,b + c & = 1 \\ -2\cdot 6 + c & = 1 \\ -12 + c & = 1 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]
Jämförelse av koefficienterna till \( x^0 \, \)-termen bekräftar värdet på \( c \, \):
- \[\begin{align} - 2\,c & = - 26 \\ c & = 13 \\ \end{align} \]
Vi får \( a = 1\, , \, b = 6\, \) och \( c = 13\, \) och därmed:
- \[ Q(x) = x^2 + 6 \, x + 13 \]
Anmärkningar
- I litteraturen förekommer även ett annat namn för den metod som beskrevs ovan. Istället för jämförelse av koefficienter som vi använder pratar man om metoden med obestämda koefficienter (eng.: the method of undetermined coefficients). Med obestämda koefficienter menar man den ansats som man i början gör med obestämda koefficienter som man sedan bestämmer under metodens gång.
- I några kursböcker behandlas polynomdivision istället för jämförelse av koefficienter, för att åstadkomma faktorisering av högre gradspolynom. Vi menar att det algebraiskt är besvärligare med polynomdivision. Jämförelse av koefficienter åstadkommer samma sak med mindre arbete och ger dessutom mer insikt i polynomens struktur.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
