Simhopp från 10-meterstorn - del 2
Läs exemplet Simhopp från 10-meterstorn.
a) Vilken maximal höjd når Marie?
b) Motivera valet av min-/max-värdena samt skalan som angavs i lösningen till exemplet ovan, Grafritning a).
Lösning
a) Maries bana följer en parabel eftersom den beskrivs av 2:a gradspolynomfunktionen:
- \[ y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \]
Eftersom den kvadratiska termen har negativ koefficient är grafen en parabel som är öppen nedåt och har därmed ett maximum. Parabler är alltid symmetriska kring symmetrilinjen som går genom maximipunkten. Så för hitta maximipunkten måste vi ställa upp symmetrilinjens ekvation. Det in sin tur kräver att vi skriver 2:a gradspolynomekvationen ovan i normalform, dvs så att koefficienten till den kvadratiska termen blir \( \, 1 \). Därför:
- \[\begin{align} - 5\,x^2 + 4\,x + 10 & = 0 & | \;\; / (-5) \\ x^2 - 0,8\,x - 2 & = 0 \end{align}\]
Detta är normalformen med \( p = -0,8\, \). Formeln för symmetrilinjens ekvation är:
- \[ x = -{p \over 2} \]
Därmed blir symmetrilinjens ekvation:
- \[ x = -{-0,8 \over 2} = 0,4 \]
Maximipunkten har alltså koordinaterna:
- \[\begin{align} x & = 0,4 \\ y & = (- 5) \cdot 0,4\,^2 + 4 \cdot 0,4 + 10 = 10,8 \end{align}\]
Maries maximala höjd blir \( \underline{10,8\,\,{\rm m}}\).
b) Tittar man på Maries bana kan man se att höjden \( \, y \, \) är \( \, 10 \, \) när tiden \( \, x \, \) är \( \, 0 \):
- \[ y = - 5\,x^2 + 4\,x + 10 \]
Eftersom både höjden och tiden är positiva kommer banan stanna i koordinatsystemets första kvadrant. Därför är det lämpligt att välja för både \( \, x\)- och \( \, y\)-axelns min-värdet \( \, 0 \).
Eftersom Marie enligt a) når en maximalhöjd på \( \, 10,8 \) m kan man välja ett lite större max-värde på \( \, y\)-axeln, säg \( \, 12 \). Om \( \, x\)-axeln vet vi bara att symmetrilinjen går genom \( \, x = 0,4 \, \). Om hon efter \( \, 0,4 \) sek når sin maximala höjd gissar vi att hon slår i vattnet kanske innan \( \, 2 \) sek. Därför:
- \[ x_{min}\, = 0 \]
- \[ x_{max}\, = 2 \]
- \[ y_{min}\, = 0 \]
- \[ y_{max}\, = 12 \]
Pga de lite annorlunda storleksordningar på \( \, x\)- och \( \, y\)-axeln är det kanske lämpligt att välja skalan \( \, 1 \, \) på \( \, x\)- och \( \, 10 \, \) på \( \, y\)-axeln:
- \[ x_{scl}\, = 1 \]
- \[ y_{scl}\, = 10 \]
Alla dessa värden är inte exakta och kan variera lite beroende på räknarens typ.
