Visa källkod för 1.3 Lösning 10b

Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat:

<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math>

I 10 a) hade vi bestämt <math> Q(x)\, </math> till:

<math> Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 </math>

För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även <math> Q(x)\, </math> faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen:

<math> x^2 - 13\,x + 2 = 0 </math>

Vietas formler ger :

<math> \begin{align} x_1   +   x_2 & = -(-13) = 13   \\
                     x_1 \cdot x_2 & = 2
        \end{align}</math>

Det är inte så enkelt att få lösningarna <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> ur dessa relationer. Därför använder vi p-q formeln här:

<math>\begin{align} x^2 - 13 x + 2 & = 0                    \\
                                x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 2}  \\
                                x_{1,2} & = 6,5 \pm \sqrt{40,25}      \\
                                x_{1,2} & = 6,5 \pm 6,34              \\
                                x_1     & = 12,84                    \\
                                x_2     & = 0,16                  \\
     \end{align}</math>

I efterhand kan vi verifiera Vietas formler, se teoridelen: [[1.3_Faktorisering_av_polynom#En_nackdel|Vietas formler, En nackdel]].

Således kan <math> Q(x)\, </math> faktoriseras så här:

<math> Q(x)= x^2 - 13\,x + 2 = (x - 12,84) \cdot (x - 0,16) </math>

Inför vi detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av 3:e gradspolynomet i början:

<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) </math>

får vi följande fullständig faktorisering av 3:e gradspolynomet:

<math> x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot (x-12,84)\,\cdot\,(x-0,16) </math>