Visa källkod för 2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet

__NOTOC__
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp;
{{Not selected tab|[[2.1 Introduktion till derivata|<math> \pmb{\gets} </math> Förra avsnitt]]}}
{{Not selected tab|[[2.2 Genomsnittlig förändringshastighet|Genomgång]]}}
{{Selected tab|[[2.2 Övningar till Genomsnittlig förändringshastighet|Övningar]]}}
{{Not selected tab|[[2.5 Deriveringsregler|Nästa demoavsnitt <math> \pmb{\to} </math>]]}}
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"| &nbsp;
|}


<Big><Big><Big><span style="color:#A4A4A4">E-övningar: 1-4</span></Big></Big></Big>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 1</span></b> ==
Marie startar kl <math> 10.30 \, </math> med sin bil från Stockholm mot Göteborg. Hon kommer fram där kl <math> 15.15 </math>.

Avståndet mellan Stockholm och Göteborg är <math> \, 478 </math> km.

Definiera <math> \, x \, </math> som tiden i timmar och <math> \, y \, </math> som sträckan i km. Betrakta <math> y\, </math> som en funkion av <math> x\, </math>.

Vad är <math> \Delta x\, </math> och <math> \Delta y\, </math> ? 

Vad är Maries genomsnittliga hastighet i hela km/h?

Uttryck ditt svar med hjälp av <math> \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, </math>. 
{{#NAVCONTENT:Svar 1|2.2 Svar 1|Lösning 1|2.2 Lösning 1}}</div>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 2</span></b> ==
Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten för följande funktioner i de angivna intervallen.

Svara med 6 decimaler.

a) &nbsp; <math> y = 5\,x + 23 </math> i intervallet <math> 2 \leq x \,\leq\, 3 </math>

b) &nbsp; <math> y = -3\,x^2 + 2\,x - 12 </math> i intervallet <math> -2 \leq x \,\leq\, 2 </math>

c) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -1 \leq x \,\leq\, 1 </math>

d) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,1 \leq x \,\leq\, 0,1 </math>

e) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,01 \leq x \,\leq\, 0,01 </math>

f) &nbsp; <math> y = e\,^x </math> i intervallet <math> -0,001 \leq x \,\leq\, 0,001 </math>
{{#NAVCONTENT:Svar 2a|2.2 Svar 2a|Lösning 2a|2.2 Lösning 2a|Svar 2b|2.2 Svar 2b|Lösning 2b|2.2 Lösning 2b|Svar 2c|2.2 Svar 2c|Lösning 2c|2.2 Lösning 2c|Svar 2d|2.2 Svar 2d|Lösning 2d|2.2 Lösning 2d|Svar 2e|2.2 Svar 2e|Lösning 2e|2.2 Lösning 2e|Svar 2f|2.2 Svar 2f|Lösning 2f|2.2 Lösning 2f}}</div>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 3</span></b> ==
Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen

:::::::<math> y \, = \, 5,1\;x^2 </math>
där <math> \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} </math>

:::<math> y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} </math>

Beräkna äpplets genomsnittliga hastighet i tidsintervallet mellan 0,2 och 0,3 sekunder.
{{#NAVCONTENT:Svar 3|2.2 Svar 3|Lösning 3|2.2 Lösning 3}}</div>


<div class="ovnE">
== <b><span style="color:#931136">Övning 4</span></b> ==
Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen

:::::::<math> y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 </math>

där <math> \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900} </math>

:::<math> y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} </math>

a) &nbsp;&nbsp; Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under hela seklet.

b) &nbsp;&nbsp; Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets första decennium.

c) &nbsp;&nbsp; Beräkna den genomsnittliga förändringshastigheten under seklets sista decennium.

d) &nbsp;&nbsp; Är följande påstående sant eller falskt?

:''"Anledningen till att a)-c) ger samma resultat är att modellen som beskriver Sveriges befolkningsutveckling, är en linjär funktion.''

:''Linjära funktioner har samma genomsnittliga förändringshastighet i alla intervall på x-axeln."''

:Motivera ditt svar.
{{#NAVCONTENT:Svar 4a|2.2 Svar 4a|Lösning 4a|2.2 Lösning 4a|Svar 4b|2.2 Svar 4b|Lösning 4b|2.2 Lösning 4b|Svar 4c|2.2 Svar 4c|Lösning 4c|2.2 Lösning 4c|Svar 4d|2.2 Svar 4d|Lösning 4d|2.2 Lösning 4d}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#86B404">C-övningar: 5-6</span></Big></Big></Big>


<div class="ovnC">
== <b><span style="color:#931136">Övning 5</span></b> ==
I genomgången, Exempel 3, betraktade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

:::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>
där <math> \;\quad x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math>

:::<math> y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} </math>

Läs igenom lösningarna '''a)''' - '''d)''' i [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_3_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]] och besvara följande fråga:

'''e)''' &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> a\, </math> i intervallet <math> 0 \leq x \,\leq\, a </math> där oljans genomsnittliga utströmningshastighet är <math> - 260\, </math>.
{{#NAVCONTENT:Svar 5e|2.2 Svar 5e|Lösning 5e|2.2 Lösning 5e}}</div>


<div class="ovnC">
== <b><span style="color:#931136">Övning 6</span></b> ==
Följande utdrag ur [https://www.skatteverket.se/download/18.4a47257e143e26725ae1435/1391609286021/manadslon_tabell29.pdf <strong><span style="color:blue">Skatteverkets skattetabell</span></strong>] för 2014 (kolumn 2) visar hur skatten ökar med månadslönen:	            

::{| class="wikitable"
|-
! <math> x\, </math> || <math> y\, </math> 
|-
| align=center| <math> 22\,801-23\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,302 </math> 
|-
| align=center| <math> 23\,001-23\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,365 </math>
|-
| align=center| <math> 23\,201-23\,400 </math> ||align=center| <math> 5\,427 </math>
|-
| align=center| <math> 23\,401-23\,600 </math> ||align=center| <math> 5\,490 </math> 
|-
| align=center| <math> 23\,601-23\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,553 </math> 
|-
| align=center| <math> 23\,801-24\,000 </math> ||align=center| <math> 5\,616 </math> 
|-
| align=center| <math> 24\,001-24\,200 </math> ||align=center| <math> 5\,681 </math> 
|-
| align=center| <math> 24\,201-24\,400 </math> ||align=center| <math> 5\,744 </math> 
|-
| align=center| <math> 24\,401-24\,600 </math> ||align=center| <math> 5\,807 </math> 
|-
| align=center| <math> 24\,601-24\,800 </math> ||align=center| <math> 5\,870 </math> 
|}
där <math> \; \quad x \, = \, {\rm Månadslönen\;i\;kr} </math>

:::<math> y \, = \, {\rm Skatten\;i\;kr} </math>

Åsa får en lönehöjning. Hennes månadslön ökar från <math> 23\,150 </math> kr till <math> 24\,700 </math>.

a) &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> \Delta x\, </math> för Åsa. 

b) &nbsp;&nbsp; Bestäm <math> \Delta y\, </math> för Åsa.

c) &nbsp;&nbsp; Ange Åsas marginalskatt i procent. 

Dvs beräkna <math> \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} </math> för att få reda på skatteökningen per kr lönehöjning dvs hur mycket mer skatt Åsa måste betala för 1 kr mer i lön. 

Avrunda svaret till en decimal.
{{#NAVCONTENT:Svar 6a|2.2 Svar 6a|Lösning 6a|2.2 Lösning 6a|Svar 6b|2.2 Svar 6b|Lösning 6b|2.2 Lösning 6b|Svar 6c|2.2 Svar 6c|Lösning 6c|2.2 Lösning 6c}}</div>




<Big><Big><Big><span style="color:#62D9FD">A-övningar: 7-8</span></Big></Big></Big>


<div class="ovnA">
== <b><span style="color:#931136">Övning 7</span></b> ==
Bestäm den genomsnittliga förändringshastigheten till funktionen

:::::::<math> y \, = \, f\,(x) \, = \, x^2 </math>

i intervallet <math> \; a \,\leq\, x \,\leq\, a + h </math>.

Förenkla uttrycket i <math> a\, </math> och <math> h\, </math> så långt som möjligt.
{{#NAVCONTENT:Svar 7|2.2 Svar 7|Lösning 7|2.2 Lösning 7}}</div>


<div class="ovnA">
== <b><span style="color:#931136">Övning 8</span></b> ==
Följande polynomfunktion är given:

:<math> y \,=\, f\,(x) \,=\, 2\,x^2 - 5\,x + 32 </math>

a) &nbsp;&nbsp; Ställ upp ändringskvoten till denna funktion i intervallet mellan <math> x\, </math> och <math> x + h\, </math>. Förenkla uttrycket så långt som möjligt.

b) &nbsp;&nbsp; Låt i uttrycket från a) gå <math> h\, </math> mot 0 så att du får ett uttryck endast i <math> x\, </math>. Ange detta uttryck.

c) &nbsp;&nbsp; Ta uttrycket från b) och bestäm dess värde för <math> x = 2\, </math>. Tolka ditt resultat.

{{#NAVCONTENT:Svar 8a|2.2 Svar 8a|Lösning 8a|2.2 Lösning 8a|Svar 8b|2.2 Svar 8b|Lösning 8b|2.2 Lösning 8b|Svar 8c|2.2 Svar 8c|Lösning 8c|2.2 Lösning 8c}}</div>








[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.