1.7 Lösning 8b

Efter \( \, 1 \,\) år finns det \( \, 5\,000 \cdot 1,03 \, \) på kontot.

Efter \( \, 2 \,\) år finns det \( \, (5\,000 \cdot 1,03) \cdot 1,03 \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^2 \, \) på kontot.

\[ \cdots \]

Efter \( \, x \,\) år finns det \( \, 5\,000 \,\cdot\, \underbrace{1,03 \,\cdot\, 1,03 \;\cdots\; 1,03}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^{\color{Red} x} \) på kontot, om \( \, x \,\) är antalet år efter insättningen.

Att startkapitalet fördubblas innebär att det efter \( \, x \, \) år finns \( \, 10\,000 \, \) kr på kontot, vilket ger följande ekvation:

\[\begin{align} 5\,000 \cdot 1,03\,^x & = 10\,000 \\ 1,03\,^x & = 2 \\ \end{align}\]

Vi kan pröva oss fram med räknaren för att få fram en ungefärlig lösning, t.ex. så här:

\[ 1,03\,^5 = 1,16 \, \]

\[ 1,03\,^{10} = 1,34 \, \]

\[ 1,03\,^{20} = 1,81 \, \]

\[ 1,03\,^{25} = 2,10 \, \]

\[ 1,03\,^{24} = 2,03 \, \]

\[ 1,03\,^{23} = 1,97 \, \]

\[ 1,03\,^{23,5} = 2,00 \, \]

Vi kan nöja oss med det sista resultatet och svara:

Startkapitalet kommer att fördubblas efter \( \, 23 \,\) år och \( \, 6 \,\) månader.