1.7 Lösning 8b

Efter $\, 1 \,$ år finns det $\, 5\,000 \cdot 1,03 \,$ på kontot.

Efter $\, 2 \,$ år finns det $\, (5\,000 \cdot 1,03) \cdot 1,03 \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^2 \,$ på kontot.

$$\cdots$$

Efter $\, x \,$ år finns det $\, 5\,000 \,\cdot\, \underbrace{1,03 \,\cdot\, 1,03 \;\cdots\; 1,03}_{{\color{Red} x}\;{\rm gånger}} \, = \, 5\,000 \cdot 1,03\,^{\color{Red} x}$ på kontot, om $\, x \,$ är antalet år efter insättningen.

Att startkapitalet fördubblas innebär att det efter $\, x \,$ år finns $\, 10\,000 \,$ kr på kontot, vilket ger följande ekvation:

$$\begin{align} 5\,000 \cdot 1,03\,^x & = 10\,000 \\ 1,03\,^x & = 2 \\ \end{align}$$

Vi kan pröva oss fram med räknaren för att få fram en ungefärlig lösning, t.ex. så här:

$$1,03\,^5 = 1,16 \,$$

$$1,03\,^{10} = 1,34 \,$$

$$1,03\,^{20} = 1,81 \,$$

$$1,03\,^{25} = 2,10 \,$$

$$1,03\,^{24} = 2,03 \,$$

$$1,03\,^{23} = 1,97 \,$$

$$1,03\,^{23,5} = 2,00 \,$$

Vi kan nöja oss med det sista resultatet och svara:

Startkapitalet kommer att fördubblas efter $\, 23 \,$ år och $\, 6 \,$ månader.