1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner

Teori

Övningar

Repetitionsuppgifter till 1.1 - 1.4

Internetlänkar

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

Exempel 1 Diskret prisfunktion efter antal

En torghandlare säljer ägg för 3 kr per styck.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) st ägg.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) \( {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 2} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 3} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{White} x} \qquad \cdots \]

\[ {\color{Red} x} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} x} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\[ y = 3\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \) som en funktion av antalet \( x \, \):

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är ett exempel på en diskret funktion.

I matematiken betyder diskret distinkt dvs avgränsat, separerat och är motsatsen till kontinuerlig. För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan minst en gång. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade till sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan 2 och 3 osv. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Samma gäller förstås för "antal ägg". Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) är diskret därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är en diskret mängd. Därför är dess graf ritad med separerade prickar och inte med en genomdragen linje.

Exempel 2 Kontinuerlig prisfunktion efter vikt

En annan torghandlare säljer ris för 30 kr per kilo.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) kilo.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) \( {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, \) kg ris kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 2} \, \] kg ris kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 3} \, \] kg ris kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{White} x} \qquad \cdots \]

\[ {\color{Red} x} \, \] kg ris kostar \( {\color{Red} x} \cdot 30 \;{\rm kr} \) eller \( 30\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\[ y = 30\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \) som en funktion av vikten \( x \, \):

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ris är ett exempel på en kontinuerlig funktion.

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret. En kontinuerlig funktions graf kan man rita utan att lyfta pennan. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) är kontinuerlig därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ris är en kontinuerlig mängd. Därför är dess graf ritad med en genomdragen linje, utan att lyfta pennan.

Anmärkning 1: I exemplet ovan har man försummat att ett riskorn väger ca. 0,02 g. Eftersom man inte kan dela ett riskorn kan man - rent teoretiskt - hävda att funktionen i exemplet också är diskret. Priset växer nämligen med ett diskret steg på 0,02 g * 3 ören/g = 0,06 ören. Men i praktiken kan man kanske förlåta denna försummelse.

Anmärkning 2: I verkligheten finns det - exakt talat - inga kontinuerliga mängder, vilket visar betydelsen av diskreta funktioner. Kontinuitet är en matematisk abstraktion som endast förekommer i talmängder eller andra matematiska objekt. Kontinuerliga funktioner är matematiska modeller som man i regel använder för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller. Sådana modeller studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter Diskret matematik.

Exempel 3 Fibonaccis funktion

Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern Leonardo Pisano Fibonacci år 1202 formulerade i sin bok Liber abaci (Boken om räknekonsten). Den handlar om kaniners fortplantning:

Om vi följer uppgiftens lydelse och räknar fram de första månaderna får vi följande tabell:

Antal månader	Antal kaninpar
\( 1\, \)	\( 1\, \)
\( 2\, \)	\( 1\, \)
\( 3\, \)	\( 2\, \)
\( 4\, \)	\( 3\, \)
\( 5\, \)	\( 5\, \)
\( 6\, \)	\( 8\, \)
\( 7\, \)	\( 13\, \)
\( 8\, \)	\( 21\, \)
\( \cdots \)	\( \cdots \)

I den andra raden av tabellen uppstår en följd av tal som kallas fibonaccitalen. Så här uppstår de:

De två första månaderna finns det 1 kaninpar. De föder sitt första barnpar först efter 2 månader dvs i månad nr 3, varför det finns 2 kaninpar i månad 3. I månad 4 föder det första paret sitt andra barnpar, varför det finns 3 par i månad 4. I månad 5 föder det första paret sitt tredje barnpar, men även deras första barnpar föder ett nytt par, eftersom det har gått 2 månader sedan deras födelse. Därför finns det 5 par i må¬nad 5. Osv. …

Praktiskt taget blir det allt svårare att hålla reda på antalet kaninpar när antalet månader växer. Man måste kanske rita någon sorts diagram och anteckna allt från månad till må¬nad. En utväg ur dilemmat vore att upptäcka ett mönster, en struktur, t.ex. ett samband mellan antal månader och kaninpar, en slags laglighet i bildandet av fibonaccitalen som kan beskrivas i form av en algoritm för att sedan kunna skrivas som program. Undersö¬ker man tabellen noga kan man se följande enkelt mönster: Summan av två på varan¬dra följande fibonaccital ger nästa fibonaccital. Kolla själv! Men hur kav vi beskriva detta mönster?

Vi inför beteckningarna: n = Antalet månader Fn = Antalet kaninpar i månaden n

Mönstret som vi upptäckte ovan kan vi nu beskriva så här:

F1 = 1, F2 = 1 Fn = Fn-1 + Fn-2 för n = 3, 4, 5, …

Den första raden säger att de första två fibonacci¬talen är 1 och 1. Den andra raden säger att det n-te fibonacci¬talet är summan av de två föregående, vilket är bara en annan for¬mulering av samma mönster vi upptäckte i tabellen. Formeln ovan kallas Fibonaccis re¬kursionsformel. Men vad är det rekursiva i denna formel? I en vanlig, icke-rekursiv for¬mel står den sökta storheten vänster om likhetstecknet och alla givna storheter höger om likhetstecknet. Men här står den sökta storheten, fibonacci¬talen, på båda sidor likhets¬tecknet, fast för olika månader, för olika parametrar så att säga. För att beräkna ett fibo¬nacci¬tal måste man känna till de två föregående. Men eftersom vi har de två första F1 och F2, s.k. startvärden, kan vi beräkna alla andra successivt utgående från dessa start¬värden. Att det sökta står på båda sidor likhetstecknet är alltså det rekursiva, vilket, när vi kodar formeln, resulterar i en metod som anropar sig själv, fast med olika parametrar.