1.5 Kontinuerliga och diskreta funktioner

Teori

Övningar

Repetitionsuppgifter till 1.1 - 1.4

Internetlänkar

Lektion 8 Kontinuerliga & diskreta funktioner

Exempel 1 Diskret prisfunktion efter antal

En torghandlare säljer ägg för 3 kr per styck.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) st ägg.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) \( {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, \) ägg kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 2} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 3} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 3 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{White} x} \qquad \cdots \]

\[ {\color{Red} x} \, \] ägg kostar \( {\color{Red} x} \cdot 3 \;{\rm kr} \) eller \( 3\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\[ y = 3\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \) som en funktion av antalet \( x \, \):

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är ett exempel på en diskret funktion.

I matematiken betyder diskret distinkt dvs avgränsat, separerat och är motsatsen till kontinuerlig. För att rita en diskret funktions graf måste man lyfta pennan minst en gång. Heltalen bildar en diskret mängd därför att de är avgränsade till sina "grannar" på tallinjen med ett helsteg. Det finns inget heltal mellan 2 och 3 osv. "Antal" är alltid heltal och därmed diskret. Samma gäller förstås för "antal ägg". Det finns inga halva eller bråkdel ägg.

Funktionen \( y = 3\;{\color{Red} x} \) är diskret därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = antal ägg är en diskret mängd. Därför är dess graf ritad med separerade prickar och inte med en genomdragen linje.

Exempel 2 Kontinuerlig prisfunktion efter vikt

En annan torghandlare säljer ris för 30 kr per kilo.

a) Ställ upp en funktion som beskriver priset \( y \, \) kr för \( x \, \) kilo.

b) Rita grafen till funktionen i a).

Lösning:

a) \( {\color{White} x} {\color{Red} 1} \, \) kg ris kostar \( {\color{Red} 1} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 2} \, \] kg ris kostar \( {\color{Red} 2} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{Red} 3} \, \] kg ris kostar \( {\color{Red} 3} \cdot 30 \;{\rm kr,} \)

\[ {\color{White} x} \qquad \cdots \]

\[ {\color{Red} x} \, \] kg ris kostar \( {\color{Red} x} \cdot 30 \;{\rm kr} \) eller \( 30\;{\color{Red} x} \;{\rm kr.} \)

Därför är prisfunktionen:

\[ y = 30\;{\color{Red} x} \]

b) Grafen till Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) visar priset \( y \, \) som en funktion av vikten \( x \, \):

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ris är ett exempel på en kontinuerlig funktion.

I matematiken betyder kontinuerlig sammanhängande och är motsatsen till diskret. En kontinuerlig funktions graf kan man rita utan att lyfta pennan. De rationella och reella talen är kontinuerliga mängder därför att mellan två sådana tal - hur nära varandra de än mår vara - finns alltid oändligt många andra tal.

Funktionen \( y = 30\;{\color{Red} x} \) är kontinuerlig därför att dess definitionsmängd: alla \( {\color{Red} x} \geq 0\, \) med \( {\color{Red} x} \, \) = kg ris är en kontinuerlig mängd. Därför är dess graf ritad med en genomdragen linje, utan att lyfta pennan.

Anmärkning 1: I exemplet ovan har man försummat att ett riskorn väger ca. 0,02 g. Eftersom man inte kan dela ett riskorn kan man - rent teoretiskt - hävda att funktionen i exemplet också är diskret. Priset växer nämligen med ett diskret steg på 0,02 g * 3 ören/g = 0,06 ören. Men i praktiken kan man kanske förlåta denna försummelse.

Anmärkning 2: I verkligheten finns det - exakt talat - inga kontinuerliga mängder, vilket visar betydelsen av diskreta funktioner. Kontinuitet är en matematisk abstraktion som endast förekommer i talmängder eller andra matematiska objekt. Kontinuerliga funktioner är matematiska modeller som man i regel använder för att beskriva verkligheten. Men i vissa fall föredrar man diskreta modeller. Sådana modeller studeras i en speciell disciplin av matematiken som heter Diskret matematik.

Exempel 3 Fibonaccis funktion

Ett exempel på problem som med fördel kan modelleras med diskreta funktioner är följande uppgift som den italienske matematikern Leonardo Pisano Fibonacci år 1202 formulerade i sin bok Liber abaci (Boken om räknekonsten). Den handlar om kanines fortplantning: