Potenser

Innehåll

1 Några begrepp
2 Potenslagarna
3 Bevis av några potenslagar
4 Blandade exempel
5 Internetlänkar

Några begrepp

Ett uttryck av formen \( a^x\, \) läses "a upphöjt till x" och kallas potens. \( a\, \) heter basen och \( x\, \) exponenten.

Om \( x\, \) är ett positivt heltal och \( a\, \) ett tal \( \neq 0 \) kan potensen \( a^x\, \) definieras som en förkortning för upprepad multiplikation av \( a\, \) med sig själv \( x\, \) gånger:

\[ a^x = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \quad \ \cdots \quad \cdot a}_{x\;\,\text{styck}} \]

Exempel:

\[ a^2 = a \cdot a \]

\[ a^3 = a \cdot a \cdot a \]

Om vi nu multiplicerar dessa två potenser med varandra och använder potensens definition, får vi:

\[ a^2 \cdot a^3 \; = \; \underbrace{a \cdot a}_{2} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot a}_{3} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a}_{5} \; = \; a^5\]

Vi kan sammanfatta till:

\[ a^2 \cdot a^3 \; = \; a^{2+3} = \; a^5\]

Detta är ett exempel på en allmän lag, den första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Det finns flera sådana:

Potenslagarna

Följande lagar gäller för potenser där basen \( a\, \) är ett tal \( \neq 0 \), exponenterna \( x\, \) och \( y\, \) vilka rationella tal som helst och \( m,\,n \) heltal (\( n\neq 0 \)), med exempel till höger:

Fil:Potenslagarna 70a.jpg Fil:Potens Ex 60.jpg

Bevis av några potenslagar

Påstående (Produkt av potenser med samma bas):

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potensens definition:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x} \; \cdot \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{y} \; = \; \underbrace{a \cdot a \cdot \; \ \cdots \; \cdot a}_{x+y} \; = \; a^{x+y} \]

Påstående (Nollte potens):

\[ a^0 \; = \; 1 \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:

\[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]

Påstående (Rationell exponent):

\[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]

Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:

\[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).