Ekvationer

Innehåll

1 Vilken typ av ekvation?
2 Rotekvationer
3 Exempel
4 Den falska roten
5 4:e gradsekvationer med jämna x-potenser
6 Internetlänkar

Vilken typ av ekvation?

Ekvationer har vi lärt oss ända från grundskolan till gymnasiet. I Matte A-kursen har vi bl.a. löst ekvationer av typ\[ 4\,x - (3\,x + 2) = -5\,x+12 \]

Sådana ekvationer kallas linjära eller 1:a gradsekvationer eftersom obekanten \( x \) förekommer endast som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. \( x \) är ju samma som \( x^1 \). Högre x-potenser förekommer inte. I Matte B-kursen har vi gått ett steg vidare och löst bl.a. ekvationer av typ\[ x^2 + 6\,x - 16 = 0 \]

Sådana ekvationer kallas icke-linjära, närmare bestämt kvadratiska eller 2:a gradsekvationer därför att obekanten \( x \) förekommer högst som 2:a gradspotens dvs med exponenten 2 eller som \( x^2 \). Obekantens exponent är alltså avgörande för ekvationens typ och därmed för svårighetsgraden när man vill lösa ekvationen.

Den generella lösningen av 3:e- och högre gradsekvationer är så pass svår att den inte behandlas i skolan. Det är t.o.m. omöjligt att med algebraiska operationer dvs \( + \), \( - \), \( \cdot \), \( / \) och\(\sqrt{ }\;\) lösa ekvationer av 5:e och högre grad i generell form, vilket bevisades av den norske matematikern Niels Henrik Abel så sent som 1824. För sådana ekvationer använder man i praktiken numeriska metoder som man ofta programmerar och låter datorn göra jobbet. Vissa specialfall däremot går att lösa algebraiskt. Vi kommer att ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Men först ska vi komplettera våra kunskaper om ekvationslösning med bl.a. ekvationer av en helt ny typ\[ \sqrt{6 x + 10} + 1 = x \]

Sådana ekvationer kallas rotekvationer. De är varken linjära eller kvadratiska. Med rot menar vi i hela detta avsnitt 2:a dvs kvadratroten. Vi kommer att lösa rotekvationer genom att återföra dem till 2:a gradsekvationer, precis som man återför 2:a gradsekvationer till 1:a gradsekvationer. Man bryter ned den nya, okända typen med stor svårighetsgrad till en lägre, redan känd typ med mindre svårighetsgrad.

Rotekvationer

Förekommer en ekvations obekant \(x\) under rotsymbolen\(\sqrt{ }\;\) pratar man om en rotekvation. Sådana ekvationer löser man genom att isolera roten (eller ha den som en faktor i en produkt, inte i en summa) på en sida av ekvationen och kvadrera sedan båda leden för att eliminera roten. Kvadrering är rotdragningens inversa (omvända) operation. Därför tar de ut varandra. Men här uppstår ett fenomen som är typiskt för rotekvationer: Kvadreringen kan generera s.k. falska rötter och tillföra dem till ekvationen. Begreppet falska rötter ger upphov till ett beteckningsproblem: rot har i matematiken två olika betydelser: en gång betyder det rotdragning med rottecknet\(\sqrt{ }\;\) som symbol, t.ex. roten ur 9 är 3 osv. En annan gång är rot synonym för en ekvations lösning. När man pratar om falska rötter menar man falska lösningar. En rotekvation kan ha inga, en eller flera falska rötter. Vilka av de erhållna lösningarna är falska, kan man bara få reda på om man verifierar dem i den ursprungliga rotekvationen: Man sätter in dem i den ursprungliga rotekvationen och prövar vilka som är rätta och vilka som är falska. De falska rötterna är inte lösningar till rotekvationen utan till den kvadredade ekvationen och måste därför förkastas.

Fenomenet med falska rötter beror på att kvadrering som är oundviklig för att eliminera\(\sqrt{ }\;\) genererar falska rötter. Men kvadrering är en operation vars inversa (omvända) operation (rotdragning) inte är entydig: 2 kvarderat ger 4, men även -2 kvarderat ger 4. I exemplet nedan ger \( (x-1) \) kvarderat \( (x-1)^2 \), men även \( -(x-1) \) kvarderat ger \( (x-1)^2 \). Men \( -(x-1) \) härstammer inte från den rotekvation vi vill lösa utan från en helt annan ekvation. På så sätt smyger sig in en annan ekvations rot i vår ekvation. Därför är den falsk.

I detta sammanhang är det viktigt att komma ihåg att rotfunktionen alltid är definierad som positiv, för att undvika tvetydighet. T.ex. \( \qquad \sqrt{4}\;= 2\;, \quad {\rm inte}\;-2 \)

Funktionsbegreppet - och rotdragning är en funktion - tillåter inte två olika funktionsvärden till ett argument: "En funktion y = f(x) är en regel som tilldelar varje x-värde ENDAST ett y-värde." (se Matte B-kursen). Om du inte ser kopplingen till falska rötter bli inte orolig. Den är inte så lätt att förstå. Däremot visar nedanstående exempel hur du rent praktiskt kan identifiera falska rötter och eliminera dem. Om du går igenom exemplet kan du också bättre förstå den teoretiska förklaringen ovan.

Exempel

Här följer ett exempel på hur man löser rotekvationen ovan genom att skriva om den till en 2:a gradsekvation:

\[\begin{align} \sqrt{6 x + 10} + 1 & = x & | \;\; -1 \\ \sqrt{6 x + 10} & = x - 1 & | \; (\;\;\;)^2 \\ 6 x + 10 & = (x - 1)^2 \\ 6 x + 10 & = x^2 - 2 x + 1 \qquad\qquad & | - 10 \\ 6 x & = x^2 - 2 x - 9 \qquad\qquad & | - 6 x \\ 0 & = x^2 - 8 x - 9 \\ \end{align}\]

Normalformen till en 2:a gradsekvation \(x^2+px+q=0\) har lösningen: \[x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\] Med denna lösningsformel, även kallad pq-formeln, löses 2:a gradsekvationen ovan (med \( p = -8 \) och \( q = -9 \)) så här:

\[\begin{align} x^2 - 8 x - 9 & = 0 \\ x_{1,2} & = 4 \pm \sqrt{16 + 9} \\ x_{1,2} & = 4 \pm 5 \\ x_1 & = 9 \\ x_2 & = - 1 \\ \end{align}\]

Dessa två lösningar är lösningar till den kvadrerade ekvationen \( 6 x + 10 = (x - 1)^2 \) vilket bekräftas grafiskt.

Ritar man graferna till funktionerna \( y1 = 6 x + 10 \) (blå linje) och \( y2 = (x - 1)^2 \) (grön parabel) i samma koordinatsystem (bilden nedan) kan man avläsa lösningarna från grafernas skärningspunkter vid \( x_1 = 9 \) och \( x_2 = -1 \):

Om de också är lösningar till rotekvationen måste undersökas algebraiskt:

Den falska roten

Vilken av lösningarna ovan är den falska roten? Eller är kanske båda falska eller ingen av dem? Teoretiskt kan alla, några eller ingen av rotekvationens rötter (lösningar) vara falska. Enda kriteriet är om de uppfyller den ursprungliga rotekvationen eller ej. Därför prövar vi båda, först \( x_1 = 9 \):

Vänsterled (VL)\[ \sqrt{6 \cdot 9 + 10} + 1 = \sqrt{54 + 10} + 1 = \sqrt{64} + 1 = 8 + 1 = 9 \]

Högerled (HL)\[ \displaystyle 9 \]

VL = HL \( \Rightarrow\; x_1 = 9 \) är en sann rot.

Sedan prövar vi roten \( x_2 = -1 \):

Vänsterled (VL)\[ \sqrt{6 \cdot (-1) + 10} + 1 = \sqrt{-6 + 10} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3 \]

Högerled (HL)\[ \displaystyle -1 \]

VL \( \not= \) HL \( \Rightarrow\; x_2 = -1 \) är en falsk rot.

Slutligen kan vi konstatera att vår rotekvation

\[ \sqrt{6 x + 10} \; + \; 1 \; = \; x \]

har den enda lösningen:

\[ \displaystyle x = 9 \]

Ritar man graferna till funktionerna \( y1 = \sqrt{6 x + 10} \) (blå kurva) och \( y2 = x - 1 \) (grön linje) i samma koordinatsystem (bilden nedan) kan man avläsa rotekvationens lösning från grafernas skärningspunkt vid \( x = 9 \):

Rotekvationer kan även lösas med andra metoder som vi inte tar upp här. En av dem är substitution. Från Matte B-kursens linjära ekvationssystem vet vi att substitution betyder ersättning av en variabel med ett uttryck av en annan variabel. I övning 7 finns ett exempel på denna metod. Dessutom används substitution även i nästa avsnitt som behandlar en annan typ av ekvation.

4:e gradsekvationer med jämna x-potenser

Inledningsvis sa vi att vissa specialfall av högre gradsekvationer går att lösa algebraiskt. Vi ska nu ta upp en speciell typ av 4:e gradsekvation som går att återföra till en 2:a gradsekvation. Denna speciella typ utmärker sig genom att obekanten \( x \) endast förekommer i potenser med jämna exponenter dvs med exponenterna 4, 2 och 0. Dvs ekvationen saknar helt och hållet termer med udda x-potenser. Följande är ett exempel på en sådan 4:e gradsekvation med jämna x-potenser:

\[ x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 \]

En 4:e gradsekvation med jämna x-potenser kan alltid skrivas om till en 2:a gradsekvation genom en enkel substitution (ersättning, se ovan). Vi inför en ny variabel z som vi definierar som:

\[ \displaystyle z = x^2 \]

Läs nu denna substitution från höger, så här: Ersätt \( x^2 \) med \( z \) dvs sätt in i 4:e gradsekvationen ovan \( z \) istället för \( x^2 \). Denna substitution överför 4:e gradsekvationen till en 2:a gradsekvation:

\[\begin{align} (x^2)^2 - 6\,(x^2) - 27 & = 0 \\ z^2 - 6\,z - 27 & = 0 \\ \end{align}\]

Självklart är detta en ny ekvation med den nya obekanten z. Men den är relaterad till vår ursprungliga 4:e gradsekvation via substitutionen \( z = x^2 \) som i sin tur kan anses som en liten ekvation. Dvs 2:a gradsekvationens z-lösningar insatta i substitutionsekvationen ger x-lösningar till den ursprungliga 4:e gradsekvationen. Därför behöver vi bara lösa den nya 2:a gradsekvationen och sätta in dess z-lösningar i substitutionen för att få x-lösningar för den ursprungliga 4:e gradsekvationen. Så här går det till:

\[\begin{align} z^2 - 6\,z - 27 & = 0 \\ z_{1,2} & = 3 \pm \sqrt{9 + 27} \\ z_{1,2} & = 3 \pm 6 \\ z_1 & = 9 \\ z_2 & = - 3 \\ \end{align}\]

Övergången från z till x gör vi genom att först sätta in lösningen \( z_1 = 9 \) i substitutionen \( z = x^2 \):

\[ \displaystyle z = x^2 = 9 \]

Nu drar vi roten ur båda leden i ekvationen \( x^2 = 9 \) och får lösningarna:

\[ x_{1,2} = \pm 3 \]

Sedan görs samma sak med lösningen \( z_2 = -3 \). Insatt i substitutionen \( z = x^2 \) ger den:

\[ \displaystyle z = x^2 = -3 \]

Men ekvationen \( x^2 = -3 \) har inga lösningar pga att roten \( \sqrt{-3} \) ur ett negativt tal inte är definierad.

Slutligen kan vi sammanfatta och konstatera att vår 4:e gradsekvation

\[ x^4 - 6\,x^2 - 27 = 0 \]

har de två lösningarna:

\[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 3 \\ \end{align}\]