1.1 Lösning 6

$$\begin{align} x^4 - 29\;x^2 & = -100 \\ x^4 - 29\;x^2 + 100 & = 0 \\ \end{align}$$

Vi inför en ny variabel z som vi definierar som:

$$\displaystyle z = x^2$$

Om vi i 4:e gradsekvationen ovan ersätter $x^2$ med $z$ får vi en 2:a gradsekvation som vi löser med pq-formeln:

$$\begin{align} z^2 - 29\,z + 100 & = 0 \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm \sqrt{14,5^2 - 100} \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm \sqrt{210,25 - 100} \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm \sqrt{110,25} \\ z_{1,2} & = 14,5 \pm 10,5 \\ z_1 & = 25 \\ z_2 & = 4 \\ \end{align}$$

Först sätter vi in lösningen $z_1 = 25$ i substitutionen $z = x^2$:

$$\displaystyle z = x^2 = 25$$

Roten ur båda leden av $x^2 = 25$ ger lösningarna:

$$x_{1,2} = \pm 5$$

Sedan görs samma sak med lösningen $z_2 = 4$. Insatt i substitutionen $z = x^2$ ger den:

$$\displaystyle z = x^2 = 4$$

Roten ur båda leden av $x^2 = 4$ ger lösningarna:

$$x_{3,4} = \pm 2$$

Slutligen kan vi konstatera att vår 4:e gradsekvation

$$x^4 - 29\;x^2 = -100$$

har de fyra lösningarna:

$$\begin{align} x_1 & = 5 \\ x_2 & = - 5 \\ x_3 & = 2 \\ x_4 & = - 2 \\ \end{align}$$

En prövning bekräftar detta resultat.