1.1 Om tal
| Teori | Övningar |
Innehåll
Vad är tal?
| Fil:Fig110.jpg
Alla vet väl vad tal är för någonting. Åtminstone har man en intuitiv uppfattning om det. Men även om man vet det, är det inte så enkelt att uttrycka det i ord, att definiera begreppet tal på ett mera exakt sätt. Låt oss försöka det: Vad är det gemensamma hos tre katter och tre hundar? Om man bortser från själva katter och hundar så är det antalet tre som är gemensamt för båda mängder. Och just detta gemensamma kan man kalla för talet 3. Tal kan alltså definieras som antalet saker och ting som finns i en mängd, i alla fall om vi nöjer oss med den enklaste typen av tal, de positiva heltalen. Men detta förutsätter att man redan kan räkna. Hur har vi lärt oss att räkna? Taluppfattning och abstraktionTankeprocessen att bortse från skillnader (katter och hundar) och att bibehålla det gemensamma (antalet tre) hos olika verkliga objekt, kallas abstraktion (abstrahere på latin: att ta bort, att dra av). Man tar bort det som skiljer tre katter från tre hundar och kommer till det som är som gemensamt hos dem: Antalet 3 eller enklare talet 3. Begreppet tal är alltså resultatet av abstraktion i den mänskliga hjärnan. Dess källa är alla verkliga objekt som omger oss. Ett växande barn lär sig denna abstraktionsförmåga under sin uppväxt. Mänskligheten har lärt sig den under den historiska utvecklingen. Det finns naturfolk som använder olika ord för samma antal när antalen används i kombination med olika objekt. T.ex. två kvinnor betecknas i deras språk med ett annat ord än två pilar. Hos dem har antalet saker och ting i en mängd inte löst sig (inte abstraherats) från mängdens andra egenskaper. Abstraktion är ett viktigt koncept i allt tänkande, så även i matematiken. Den ger oss inte bara talbegreppet. Man kan t.o.m. säga att hela matematiken består av en rad abstraktioner på olika nivåer. Vill man bli duktig i matte är det bäst att träna sin abstraktionsförmåga. Och hur gör man det? En möjlighet är att just syssla med matematik! Vad är ett positivt tal?Det som sades ovan var nästan definitionen för positiva tal, nämligen för de positiva heltalen 1, 2, 3, 4, ... , dvs antalet saker och ting i en mängd. Generellt är positiva tal alla tal större än 0. Till 0 kommer man genom att dra av samma tal från varandra, t.ex. \(4 - 4 = 0\). De positiva heltalen bildar tillsammans med 0 de s.k. naturliga talen: 0, 1, 2, 3, 4, ... . Alla andra typer av tal (hela, rationella, reella, komplexa osv.) bygger sin konstruktion på de naturliga talen, är alltså resultat av ytterligare abstraktioner. Det decimala positionssystemetAtt tänka sig ett tal genom att räkna upp antalet saker och ting i en mängd, är en sak. Att meddela det till andra dvs att tala om eller att skriva upp talet så att alla förstår, är en helt annan sak, i regel svårare. Man pratar om representation av tal, dvs att visa eller framställa talet. Det har funnits genom historien en uppsjö av olika sätt att representera tal. Det sätt som idag används i kommunikation bland människor världen över är det s.k. decimala positionssystemet. Decimalt heter det därför att det bygger på basen 10 (deci på latin: tio). Dvs man använder de 10 siffrorna 0-9 för att representera alla tal. Antagligen har urmänniskan räknat första gången genom att räkna upp sina 10 fingrar. Det är praktiskt - och vi gör det även idag - att ta sina fingrar till hjälp när man räknar i huvudet. Allt som går över 10 bildas med hjälp av dessa 10. Positionssystem heter det därför att det är positionen eller placeringen av siffrorna i talet som bestämmer talets värde (OBS! 3 är en siffra, medan 34 är ett tal. Självklart är 3 också ett tal, men 34 är ingen siffra). Det som bestämmer värdet, de olika positionerna har fått beteckningarna ental, tiotal, hundratal, tusental osv. Man börjar att skriva från vänster siffran med det högsta värdet. Sedan följer de andra med nedstigande värden. Så siffran med det minsta värdet, entalet, hamnar längst till höger.
|
