Fibonaccis talföljd
| << Förra avsnitt] | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Problemet
Formuleringen "Samma gäller för de nya paren." ger upphov till ett mönster som
upprepas. Man återvänder till något som redan gjorts: ett känt förlopp upprepas.
Man kallar det för ett "rekursivt" problem. Rekursionen används vid problemets lösning.
Ordet rekursion kommer från det latinska recurrere och betyder att köra igen.
Fibonaccis talföljd
| Fibonaccis talföljd är varken aritmetisk eller geometrisk. Mönstet för bildningen av talföljden är snarare: Summan av två på varandra följande |
\( \qquad \) |  |
Fibonaccis rekursionsformel
Vi kan använda detta mönster för att bygga en algoritm för beräkning av fibonaccitalen.
Ännu smartare är det att anlita digitala verktyg för att låta datorn göra jobbet.
T.ex. lämpar sig kalkylprogrammet Excel utmärkt för en sådan beräkning.
Algoritm för fibonaccitalen i Excel
Följande algoritm beskriver hur man kan använda Excel för att låta datorn beräkna fibonaccitalen:
Hämtar...I övning 6 kommer du att behöva använda denna algoritm för att låta datorn beräkna de första \( \, 24 \, \) fibonaccitalen.
Här är de \( \, 12 \, \) första fibonaccitalen beräknade:
|
Med denna värdetabell kan vi rita grafen
till höger som illustrerar fibonaccitalens snabba tillväxt. Den horisontella axeln visar antal månader och den vertikala antal kaninpar.
Fibonaccitalen bildar en diskret funktion därför att dess definitionsmängd är heltal, bestående av månaderna \( \, {\color{Red} 1}\)-\({\color{Red} {12}}\). |
 |
Som man ser ökar kaninpopulationen ganska fort, så att vi nu kan besvara den inledande frågan:
Det kommer att finnas \( 144 \) kaninpar om ett år.
Fibonaccitalens explicita formel
Fibonaccis rekursionsformel kan även tolkas som en diskret funktion.
Diskret, därför att definitionsmängden är heltal (en diskret mängd): antalet kaninpar.
Dessutom är den rekursiv. Rekursiv, därför att den anropar sig själv, när den definieras:
- \[ F(n) \; = \; F(n-1) \; + \; F(n-2) \].
I en vanlig funktion står \( F(n) \, \) till vänster om likhetstecknet och den oberoende variabeln \( n \, \) till höger.
Men här står \( \, F(n) \, \) på båda sidor likhetstecknet, även om för olika månader (= argument).
För att beräkna ett fibonaccital måste man känna till de två föregående.
Men eftersom vi har de två första \( F(1) = 1 \, \) och \( F(2) = 1 \, \), s.k. startvärden,
kan vi beräkna alla andra successivt dvs rekursivt utgående från dessa startvärden.
Att \( F(n) \, \) anropas på båda sidor likhetstecknet är just den rekursiva egenskapen. Därav namnet Fibonaccis rekursionsformel.
Fibonaccis funktion har många intressanta kopplingar till andra delar inom matematiken.
En av dem är sambandet mellan fibonaccitalen och det s.k. gyllene snittet se övning 6.
En annan är följande vacker formel som upptäcktes först 1718 \(-\) mer än 500 år senare än själva fibonaccitalen \(-\) och
som ger oss möjligheten att direkt beräkna vilket fibonaccital som helst utan att känna till något föregående fibonaccital:
Explicit formel för fibonaccitalen
\( \displaystyle F(n) \; = \; {1\over\sqrt{5}}\,\left({1+\sqrt{5}\over 2}\right)^n\,-\;{1\over\sqrt{5}}\,\left({1-\sqrt{5}\over 2}\right)^n\; , \qquad n \;\mbox{heltal } \geq 1 \)
I övning 11 får du till uppgift att bevisa den, vilket görs genom att visa att den uppfyller rekursionsformeln.
Den är i själva verket lösningen till rekursionsformeln när denna uppfattas och behandlas som en differensekvation.
Dvs den explicita formeln \(-\) sedd som en funktion \(-\) är lösningen till differensekvationen som beskrivs av rekursionsformeln.
Differensekvationer är den diskreta motsvarigheten till differentialekvationer inom kontinuerlig matematisk analys, som tas upp i Matte 5.
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.
