3.5 Extremvärdesproblem

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Exempel 1 Rektangel i parabel

En rektangel är inbunden i en parabel vars ekvation är given: $$y \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5 \qquad {\rm med} \qquad y \, \geq \, 0$$ Punkten $\, (x,\,y) \,$ rör sig på parabeln, se figuren. Placera den så att rektangelns area $\, A \,$ blir maximal. a)   Ställ upp rektangelns area som en funktion av $\, x \,$ dvs $\, A(x) \,$. b)   Bestäm $\, x \,$ så att $\, A(x) \,$ blir maximal. c)   Beräkna rektangelns maximala area.

 d)  Bestäm definitionsmängden till funktionen $\, A(x) \,$ och rita grafen till $\, A(x)$. Markera maximipunkten från b) i grafen.

Kontrollera algebraiskt om maximipunkten ligger inom definitionsmängden.

Lösning:

a)   Rektangelns area kan skrivas som $\quad A\,(x, \, {\color{Red} y}) \; = \; 2 \, \cdot x \, \cdot \, {\color{Red} y}$

Men $\, A\,(x, \, {\color{Red} y}) \,$ är en funktion av två variabler som vi inte kan hantera.

Därför måste $A\,(x, \, {\color{Red} y}) \,$ skrivas om till en funktion $\, A\,(x) \,$ av endast en variabel, nämligen $\, x$.

Detta gör vi genom att eliminera $\, {\color{Red} y} \,$:   Vi utnyttjar sambandet mellan $\, x \,$ och $\, {\color{Red} y} \,$ som är givet av parabelns ekvation.

Rektangelns "rörliga" hörn $\, (x,\,{\color{Red} y}) \,$ måste alltid ligga på parabeln. Därför måste $\, x \,$ och $\, y \,$ uppfylla parabelns ekvation:

$\displaystyle {\color{Red} y} \, = \, -\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5$

$\qquad$

Detta samband kallas för problemets bivillkor.

Bivillkor för ett extremvärdesproblem

Ett extremvärdesproblems bivillkor är ett samband som bestäms av problemets givna geometriska

eller andra föreskrivna egenskaper.

---

Bivillkoret sätter restriktioner (begränsningar, eng. constraints) på punkten $(x,\,y)$:s rörelsefrihet.

I Exempel 1 är parabelns ekvation problemets bivillkor, därför att punkten $(x,\,y)$ måste följa parabeln, se figuren ovan.

Vi använder bivillkoret för att skriva om rektangelns area från en funktion av två variabler $\, x \,$ och $\, y \,$ till en funktion av en variabel $\, x$.

Därför sätter vi in parabelns ekvation $\, \displaystyle {\color{Red} y} = -\,{\, x^2 \over 2} + 5 \,$ i rektangelns area $\, A\,(x, \, {\color{Red} y}) = 2\cdot x \cdot {\color{Red} y} \,$ för att eliminera $\, {\color{Red} y} \,$:

$$A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, 2 \cdot x \cdot {\color{Red} y} \, = \, 2 \cdot x \cdot \left({\color{Red} {-\,{\, x^2 \over 2} \, + \, 5}}\right) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x$$

På så sätt får vi en funktion för rektangelns area som endast beror av $\, x$:

$A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x$

$\qquad$

Denna funktion kallas för problemets målfunktion

Målfunktion för ett extremvärdesproblem

Ett extremvärdesproblems målfunktion är alltid den funktion av endast en variabel som ska

maximeras eller minimeras.

---

Extremvärdesproblem består i regel av ett bivillkor och en målfunktion.

---

Bivillkoret används för att reducera målfunktionen till en funktion av endast en variabel.

I Exempel 1 är $A\,(x)$ problemets målfunktion, därför att det är rektangelns area som ska maximeras.

I $A\,(x)$ är parabelns ekvation redan "inbakad".

---

b)   För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi $\, A(x) \,$ och bestämmer derivatans nollställen:

$$A(x) \, = \, -\,x^3 \, + \, 10\,x$$ $$A'(x) \, = \, -\,3\,x^2 \, + \, 10$$ $$A''(x) \, = \, -\,6\,x$$

$\qquad$

Derivatans nollställen:

$\qquad$

$\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -3\,x^2 \, + \, 10 & = & 0 \\ & & 10 & = & 3\,x^2 \\ & & {10 \over 3} & = & x^2 \\ & & x_{1, 2} & = & \sqrt{10 \over 3} \\ & & x_1 & = & 1,83 \\ & & x_2 & = & -1,83 \end{array}$

$\quad\; x_2 = -1,83 \,$ förkastas därför att arean och därmed $\, x \,$ inte kan vara negativ, se även d).

Vi sätter in $\, x_1 = 1,83 \,$ i andraderivatan och använder reglerna om max/min:

$\qquad\quad A''(1,83) = -6 \cdot 1,83 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \,$ har ett lokalt maximum i $\; \boxed{x \, = \, 1,83} \,$.

För $\, x = 1,83 \, {\rm cm} \,$ antar målfunktionen (rektangelns area) sitt maximum.

---

c)   För att bestämma rektangelns maximala area sätter vi in $\, x = 1,83 \,$ i målfunktionen $\, A(x)$:

$$A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x$$

$$A(1,83) = -\,1,83\,^3 \, + \, 10 \cdot 1,83 \, = \, 12,17$$

Rektangelns maximala area är $\, 12,17 \,$.

---

d)   Målfunktionen $\, A\,(x) = \displaystyle -\,x^3 \, + \, 10\,x \,$ har definitionsintervallet: $\, 0 \, \leq \, x \, \leq \, \sqrt{10}$ Den vänstra ändan $\, 0 \,$ är motiverad av att arean och därmed $\, x \,$ inte kan vara negativ. Den högra ändan $\, \sqrt{10} \,$ är parabelns högra rand i Exempel 1, dvs den positiva lös- ningen till ekvationen $\displaystyle -{x^2 \over 2} + 5 = 0$. För $x > \sqrt{10}$ blir $y < 0$, vilket inte är tillåtet. Maximipunkten $\, x = 1,83 \,$ ligger inom definitionsmängden: $\, 0 \, < \, 1,83 \, < \, \sqrt{10}$.

Exempel 2 Glasskiva (rektangel i triangel)

En glasskiva har formen av en rätvinklig triangel med följande mått: $\qquad\qquad\qquad\quad$ Kortare kateten $\, = \, 20 \,$ cm $\qquad\qquad\qquad\quad$ Längre kateten $\, = \, 30 \,$ cm En rektangulär glasplatta med maximal area ska skäras ut ur skivan. a)   Formulera problemets bivillkor. b)   Ställ upp problemets målfunktion. Ange dess definitionsmängd.

c)   Bestäm $\, x \,$ så att glasplattans area $\, A(x) \,$ maximeras.

d)   Beräkna glasplattans maximala area.

Lösning:

a)   Vi inför beteckningen $\; {\color{Red} y} \;$ för glasplattans andra sida, så att rektangelns area kan skrivas som $\; A\,(x, {\color{Red} y}) \; = \; x \; \cdot \; {\color{Red} y}$

För att skriva om funktionen ovan till en funktion $\, A\,(x) \,$ av endast en variabel, nämligen $\, x \,$,

måste $\, {\color{Red} y} \,$ uttryckas med $\, x \,$, så att $\, {\color{Red} y} \,$ kan elimineras.

Sambandet mellan $\, x \,$ och $\, {\color{Red} y} \,$ bestäms av rektangelns "rörliga" hörn som är bundet till triangelns hypotenusa.

Vi inför ett koordinatsystem och sätter glasskivan i det, se bilden:

Triangelns hypotenusa blir då en del av en rät linje. Punkten $\, (x, y) \,$ rör sig på denna räta linje vars ekvation är: $${\color{Red} y} \, = \, k\,x \, + \, m$$ Lutningen $\, k \, = \, \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \, = \, - \, {20 \over 30} \, = \, - \, {2 \over 3}$ Skärningspunkten med $\,y$-axeln: $\quad m \, = \, 20$ Den räta linjens ekvation blir då problemets bivillkor: $\displaystyle {\color{Red} y} \, = \, - \, {2 \over 3}\,x \, + \, 20$

b)   Det ovan formulerade bivillkoret för glasskivan sätts in i $\; A\,(x, {\color{Red} y}) = x \cdot {\color{Red} y} \;$ för att eliminera $\, {\color{Red} y} \,$

     och ställa upp ett uttryck för arean som endast beror av $\, x$:

$$A\,(x, \, {\color{Red} y}) \, = \, x \cdot {\color{Red} y} \, = \, x \cdot \left(-\,{2 \over 3}\,x \, + \, 20\right) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x$$

     Målfunktionen är:

$A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x$

       med definitionsmängden: $\quad 0 \, \leq \, x \, \leq \, 30 \,$.

c)   För att hitta målfunktionens lokala maximum deriverar vi $\, A(x) \,$ och bestämmer derivatans nollställen:

$$A(x) \, = \, -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x$$ $$A'(x) \, = \, -\,{4 \over 3}\,x \, + \, 20$$ $$A''(x) \, = \, -\,{4 \over 3}$$

$\qquad$

Derivatans nollställen:

$\qquad$

$\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{4 \over 3}\,x + 20 & = & 0 \\ & & 20 & = & {4 \over 3}\,x \\ & & {20 \, \cdot \, 3 \over 4} & = & x \\ & & x & = & 15 \end{array}$

     $\, x = 15 \,$ som ligger inom målfunktionens definitionsmängd, sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:

     $A''(15) = \displaystyle -\,{4 \over 3} \,<\, 0 \quad \Longrightarrow \quad A(x) \,$ har ett lokalt maximum i $\; \boxed{x \, = \, 15} \,$.

     För $\, x = 15 \, {\rm cm} \,$ antar målfunktionen ett maximum, dvs rektangelns area blir maximal.

d)   Eftersom rektangeln får sin största area för $\, x = 15 \,$ sätter vi in $\, x = 15 \,$ i målfunktionen för att få största arean:

$$A\,(x) \, = \, \displaystyle -\,{2 \over 3}\,x^2 \, + \, 20\,x$$

$$A(15) = -\,{2 \over 3} \cdot 15^2 + 20 \cdot 15 = 150$$

     Glasplattans största area blir $\, 150 \, {\rm cm}^2 \,$.

Exempel 3 Konservburk

En cylinderformad konservburk ska produceras av en bit plåt. Vi antar: Plåtens area $\, = \,$ cylinderns begränsningsarea $\, {\color{Red} {= \, 500 \, {\rm cm}^2}} \,$ efter spill. Vilka mått på cylindern måste väljas så att volymen blir maximal ? a)   Formulera problemets bivillkor. b)   Ställ upp problemets målfunktion. c)   Bestäm cylinderns radie och höjd så att burkens volym blir maximal.

 d)   Ange målfunktionens definitionsmängd. Rita graferna till bivillkoret och målfunktionen. Tolka graferna.

 e)   Beräkna konservburkens maximala volym.

 f)    Vilket samband råder mellan cylinderns radie $\, r \,$ och dess höjd $\, h \,$ när volymen maximeras?

Lösning:

a)   Begränsningsarean $\, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500$ $$\begin{array}{rcl} 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 & = & 500 \\ 2\,\pi\,r\,h & = & 500 \, - 2\,\pi\,r^2 \\ h & = & {500 - 2\,\pi\,r^2 \over 2\,\pi\,r} \\ h & = & {500 \over 2\,\pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\,r} \, - \, r \end{array}$$        Därmed är bivillkoret: $h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r$

b)   Cylinderns volym $\, V \,$ är basytan $\times$ höjden dvs: $\qquad V\,(r, \, {\color{Red} h}) \; = \; \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \qquad$ Funktion av två variabler: $\, r \,$ och $\, {\color{Red} h} \,$.

       För att skriva om denna funktion till en funktion av endast en variabel, sätter vi in bivillkoret från a) i $\, V\,(r, \, {\color{Red} h}) \,$ och eliminerar $\, {\color{Red} h} \,$:

$$V\,(r, \, {\color{Red} h}) \, = \, \pi \, r^2 \; \cdot \; {\color{Red} h} \, = \, \pi\,r^2\cdot \left( {\color{Red} {{250 \over \pi\,r}\,-\, r}} \right) \, = \, {250 \cdot \pi\,r^2 \over \pi\,r} \, - \, \pi\,r^3 \, = \, 250 \cdot r \, - \, \pi\,r^3$$

       Därmed blir målfunktionen:

$V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3$

c)   Målfunktionen maximeras:

$$V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3$$ $$V'(r) \, = \, 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2$$ $$V''(r) \, = \, -\,6\,\pi\,r$$

$\qquad$

Derivatans nollställen:

$\qquad$

$\begin{array}{rcrcl} V'(r) & = & 250 \, - \, 3\,\pi\,r^2 & = & 0 \\ & & 250 & = & 3\,\pi\,r^2 \\ & & {250 \over 3\,\pi} & = & r^2 \\ & & r_{1, 2} & = & \pm\,\sqrt{250 \over 3\,\pi} \\ & & r & = & 5,15 \end{array}$

       $r_2 = -5,15 \,$ förkastas, för radien kan inte bli negativ. $\, r = 5,15 \, > \, 0 \,$ sätts in i andraderivatan enligt reglerna om max/min:

       $V''(5,15) = -6 \,\pi\cdot 5,15 \, < \, 0 \quad \Longrightarrow \quad V(r) \,$ har ett lokalt maximum för $\, r = 5,15$.

       För att få cylinderns höjd när volymen maximeras sätter vi in $\, r = 5,15 \,$ i bivillkoret från a):

$$h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r \, = \, {250 \over \pi\cdot 5,15} \, - \, 5,15 \, = \, 10,30$$

       Cylinderns volym blir maximal för radien $\quad \boxed{r = 5,15 \; {\rm cm}} \quad$ och höjden $\quad \boxed{h = 10,30 \; {\rm cm}} \quad$.

d)   För att bestämma målfunktionens definitionsmängd tittar undersöker vi bivillkoret: $\qquad h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r$

       Av detta framgår att $\, r \,$ inte får vara $\, 0 \,$: $\; r \, \neq \, 0 \;$. Därför är $\, 0 \,$ en undre gräns för $\, r$: $\qquad r \, > \, 0$

       För att hitta en övre gräns (största möjliga värde) för $\; r \;$ tittar vi på cylinderns begränsningsarea:

$$\, A \, = \, 2\,\pi\,r\,h \, + 2\,\pi\,r^2 \, = \, 500$$

       Pga begränsningsareans konstanta värde $\, 500 \,$ blir cylinderns radie störst när höjden blir $\, 0 \,$.

       Därför får vi radiens störst möjliga värde om vi i formeln ovan väljer $\, h=0$:

$$\, h = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad A \, = \, 2\,\pi \cdot \left(r\right)\,^2 \, = \, 500 \qquad \Longrightarrow \qquad r \, = \, \sqrt{500 \over 2\,\pi} \, = \, 8,92$$

       Därmed blir målfunktionens definitionsmängd:$\qquad\qquad$

$0 \; < \; r \; \leq \; 8,92$

      Grafen till vänster visar bivillkoret $h \, = \, \displaystyle {250 \over \pi\,r} \, - \, r$ och till höger målfunktionen $V(r) \, = \, 250 \, r \, - \, \pi\,r^3$, båda med definitionsmängden ovan.

      Målfunktionens graf till höger bekräftar det algebraiska resultatet från c), nämligen att volymen blir maximal för $\, r = 5,15$.

      Bivillkorets graf till vänster bekräftar att för $\, r = 5,15 \,$ höjden blir $\, \approx \, 10$ och dessutom att $\, r \,$ inte kan bli större än $\, 8,92$.

e)   Resultaten från c) sätts in i målfunktionen för att få cylinderns största volym:

$$V(5,15) \, = \, \pi \, \cdot 5,15^2 \, \cdot 10,30 \, = \, 858,23$$

       Konservburkens maximala volym blir $\; 858,23 \, {\rm cm}^3 \;$.

f)   Följande samband råder mellan cylinderns radie $\; r = 5,15 \, {\rm cm} \;$ och dess höjd $\; h = 10,30 \, {\rm cm}$

      när volymen till en cylinder med en begränsningsarea på $\, 500 \, {\rm cm}^2 \,$, maximeras:

$2 \; r \; = \; h$

Återstår frågan som är föremål för undersökning i övning 9, om samma samband även råder generellt mellan radien $\; r \;$ och höjden $\; h \;$ för alla konservburkar med vilken begränsningsarea som helst och maximal volym, nämligen:

Diametern $\; = \;$ Höjden

En annan intressant frågeställning är:

Råder även sambandet ovan om man utgår från en konservburk med fast given volym vars materialåtgång ska minimeras?

En närmare undersökning liknande lösningen till Exempel 3 kommer att visa att detta är fallet.

Dvs sambandet ovan är alltid optimalt ur ekonomisk synpunkt.

Ett ekonomiskt exempel

Se övning 7.

Copyright © 2011-2016 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.