2.5 Deriveringsregler

Genomgång

Deriveringsreglerna är till för att kunna derivera de viktigaste typerna av funktioner som förekommer i tillämpningarna, utan att varje gång behöva använda derivatans definition. Här sammanställs själva reglerna. Deras bevis hittar man i fliken Fördjupning.

Derivatan av en konstant

Regel: Derivatan av en konstant är 0.

Om $\;\; f(x) \; = \: c \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.}$

då $\;\; f\,'(x) \; = \: 0$ .

Bevis: Se Fördjupning: Derivatan av en konstant.

$\qquad$

Exempel

För funktionen $\;\, f(x) \; = \: -5 \;$ blir derivatan:

$\;\, f\,'(x) \; = \: 0$

Derivatan av en linjär funktion

Regel: Derivatan av en linjär funktion är konstant.

Om $\;\; f(x) \; = \; k\cdot x \, + \, m \quad {\rm där} \quad k,\,m = {\rm const. }$

då $\;\; f\,'(x) \; = \; k$

Bevis: Se Fördjupning: Derivatan av en linjär funktion.

$\qquad$

Exempel

För funktionen $\;\, f(x) \; = \; -8\,x + 9 \;$ blir derivatan:

$\;\, f\,'(x) \; = \; -8$

Derivatan av en kvadratisk funktion

Regel:

Derivatan av en kvadratisk funktion är en linjär funktion:

Om $\;\; f(x) \; = \; a\,x^2 \, + \, b\,x \, + \, c \quad {\rm där} \quad a,\,b,\,c = {\rm const. }$

då $\;\; f\,'(x) \; = \; 2\,a\,x \, + \, b$

Bevis: Se Fördjupning: Derivatan av en kvadratisk funktion.

$\qquad$

Exempel 1

För funktionen $\;\, f(x) \; = \; 5\,x^2 - 3\,x + 6 \;$ blir derivatan:

$\;\, f\,'(x) \; = \; 10\,x - 3$

Exempel 2

För funktionen $f(x) \; = \; -25\,x^2 + 16\,x - 90 \;$ blir derivatan:

$f\,'(x) \; = \; 2\cdot (-25)\,x + 16 \; = \; - 50\,x + 16$

Derivatan av en potens

Regeln om derivatan av en potens:

Om $\;\; f(x) \; = \; x\,^n \quad {\rm där} \quad n = {\rm const.}$

då $\;\; f\,'(x) \; = \; n\cdot x\,^{n-1}$

$\qquad$

Exempel 1 $n \,=\,$ positivt heltal:

För funktionen $f(x) = x^5 \;$ blir derivatan:

$f\,'(x) = 5\,x^4$

Denna regel är den viktigaste formeln för derivering av elementära funktioner. Alla deriveringsregler vi ställt upp hittills är specialfall av denna regel.

Regeln gäller för ALLA exponenter ${\color{Red} n}$ , dvs inte bara för positiva (ex. 1) utan även för negativa heltalsexponenter (ex. 2) och t.o.m. för bråktal i exponenten (ex. 3).

Exempel 2 $n \,=\,$ negativt heltal:

Derivera funktionen $f(x) = \displaystyle {1 \over x}$ med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla $\displaystyle {1 \over x}$ till en potens med hjälp av Potenslagarna:

$\qquad \displaystyle f(x) = {1 \over x} = x^{-1} \;$ , se Lagen om negativ exponent.

Därmed är $\,n = -1$ och vi kan sätta in $\, n = -1$ i regeln om derivatan av en potens och får:

$\qquad \displaystyle f\,'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1} = (-1)\cdot x^{-2} = \boxed{\,- \, {1 \over x^2}\,}$

Även i den sista likheten i raden ovan har Lagen om negativ exponent använts.

Exempel 3 $n \,=\,$ bråktal:

Derivera funktionen $f(x) = \sqrt{x}$ med hjälp av regeln om derivatan av en potens.

Innan vi kan tillämpa denna regel måste vi omvandla $\sqrt{x}$ till en potens:

$\qquad \displaystyle f(x) = \sqrt{x} = x\,^{1 \over 2} \;$ , se Lagen om kvadratroten.

Därmed är $n = {1 \over 2}$ och vi kan sätta in $n = {1 \over 2}$ i regeln om derivatan av en potens och får:

$\qquad \displaystyle f\,'(x) = {1 \over 2}\cdot x\,^{{1 \over 2}-1} = {1 \over 2}\cdot x\,^{-{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over x\,^{1 \over 2}} = {1 \over 2}\cdot {1\over \sqrt{x}} = \boxed{\,{1 \over 2\, \sqrt{x}}\,}$

Även i den näst sista likheten i raden ovan har Lagen om kvadratroten använts.

Derivatan av en funktion med en konstant faktor

Regel:

En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering:

Om

$y = a\cdot f(x) \quad {\rm och} \quad a = {\rm const.}$

då

$y\,' = a\cdot f\,'(x)$

$\qquad$

Exempel

För funktionen $y \,\, = \,\, 6\cdot \sqrt{x} \;$ blir derivatan:

$y\,' \, = \,\, 6\cdot (\sqrt{x})\,' \,= \, 6\cdot {1 \over 2\,\sqrt{x}} \,= \, {6 \over 2\,\sqrt{x}} \,=\, {3 \over \sqrt{x}}$

Här har resultatet från Exempel 3 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av

$f(x) = \sqrt{x}$ är

$f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}}$

Tillämpning av regeln ovan på en potensfunktion:

Om

$\;\; y \; = \; a\,x\,^n \quad {\rm där} \quad n,\,a = {\rm const. }$

då

$\;\; y\,' \; = \; n\cdot a\,x\,^{n-1}$

$\qquad$

Exempel

För funktionen $y = 12\,x^4 \;$ blir derivatan:

$y\,' = 4\cdot 12\,x^3 = 48\,x^3$

OBS! Konstanten ${\color{Red} a}$ tas oförändrad över till derivatan.

Regeln om att derivatan av en konstant är $\, 0\,$ får ingen tillämpning här, därför att konstanten $a\,$ inte är en additiv term här utan bunden till produkten $a \cdot x\,^n$ som en faktor framför potensen och därför inte kan separeras från den:

Konstant faktor vs. additiv konstant

I funktionen $y \,=\, 6 \cdot \sqrt{x}$ är $\, 6$ en konstant faktor i funktionsuttrycket.

Derivatan blir $y' = 6\cdot \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {6 \over 2\,\sqrt{x}} = {3 \over \sqrt{x}}$ enligt regeln ovan: "En konstant faktor förblir oförändrad vid derivering".

I funktionen $y \,=\, 6 \,+\, \sqrt{x}$ är $\, 6$ en additiv konstant i funktionsuttrycket.

Derivatan blir $y' = 0 \,+\, \displaystyle {1 \over 2\,\sqrt{x}} = {1 \over 2\,\sqrt{x}}$ enligt regeln om att derivatan av en konstant är $\, 0\,$ .

Att derivatan av en konstant är $0\,$ innebär inte att derivatan av $a\cdot f(x)$ blir $0\cdot f\,'(x)$ och därmed $0\,$ . Det finns ingen regel som säger att en produkt av funktioner kan deriveras faktorvis, se Produkt och kvot av funktioner.

Regeln om derivatan av en konstant innebär: Derivatan av en "ensam" konstant är $0\,$ . Förekommer konstanten däremot additivt i ett uttryck måste regeln preciseras:

Regel:

Derivatan av en additiv konstant är $0\,$ .

Om $\; y \; = \; c + f(x)\, \quad {\rm där} \quad c = {\rm const.}$

då $\; y' \; = \; 0 \,+\, f\,'(x) = f\,'(x)$ .

$\qquad$

Exempel

För funktionen $\; f(x) \; = \; -5 + \displaystyle {1\over x} \;$ blir derivatan:

$\; f\,'(x) \; = \; 0 \,+\, \left(\displaystyle {- {1\over x^2}}\right) = - {1\over x^2}$

Här har resultatet från Exempel 2 på Derivatan av en potens använts:

Derivatan av

$y = \displaystyle {1 \over x}$ är

$y\,' = \displaystyle - \, {1 \over x^2}$

I exemplet ovan användes redan följande regel:

Derivatan av en summa av funktioner

Regel:

En summa av funktioner kan deriveras termvis.

Om

$\;\; y = f(x) + g(x)\,$

då

$\;\; y\,' = f\,'(x) + g\,'(x)$

$\qquad$

Exempel 1

För polynomfunktionen

$\quad f(x) = -3\,x^4\,+\,9\,x^3\,-\,8\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \;$ blir derivatan:

$\quad f\,'(x) \, = -12\,x^3 + 27\,x^2 - 16\,x + 17$

Se även Derivatan av ett polynom.

Exempel 2

För funktionen $\displaystyle y = {1\over x} + \sqrt{x} \;$ blir derivatan:

$y\,' \, = - {1\over x^2} + {1 \over 2\,\sqrt{x}}$

Här har resultaten från Exempel 2 och 3 på Regeln om derivatan av en potens använts:

Derivatan av

$f(x) = \displaystyle {1 \over x}$ är

$f\,'(x) = \displaystyle - \, {1 \over x^2}$ och

Derivatan av

$f(x) = \sqrt{x}$ är

$f\,'(x) = \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}}$ .

Produkt och kvot av funktioner

Regeln ovan tillåter att derivera en summa av funktioner termvis.

Av detta får inte dras slutsatsen att samma sak kan göras i en produkt eller i en kvot av funktioner:

En produkt av funktioner kan inte deriveras faktorvis.

Exempel

$y = x \cdot \sqrt x$

$y\,' \neq 1 \cdot {1 \over 2\, \sqrt{x}} \,=\, {1 \over 2\, \sqrt{x}}$

Rätt:

$y \,=\, x \cdot \sqrt{x} \,=\, x^1 \cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, x\,^{1 + {1 \over 2}} \,=\, x\,^{3 \over 2}$

$y\,' \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{{3 \over 2}-1} \,=\, {3 \over 2}\cdot x\,^{1 \over 2} \,=\, {3 \over 2}\cdot \sqrt x$

$\qquad\qquad$

Inte heller i en kvot av funktioner kan täljaren
deriveras för sig och nämnaren för sig.

Exempel

$y \,=\, \displaystyle {x+1 \over x}$

$y\,' \,\neq\, {1 + 0 \over 1} \,=\, {1 \over 1} \,=\, 1$

Rätt:

$y = {x+1 \over x} = {x \over x} + {1 \over x} = 1 + {1 \over x} = 1 + x^{-1}$

$y\,' = 0 + (-1)\cdot x^{-1-1} = - x^{-2} = - {1 \over x^2}$

Det finns specifika regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln. Båda behandlas i kursen Matematik 4 enligt Skolverkets kursplan.

Tabell över deriveringsregler

Vi sammanfattar våra resultat i följande tabell där $c,\,a,\,k,\,m,\,n$ är konstanter medan $\, x\,$ och $\, y\, = \, f(x)$ är variabler:

$y\,$	$y\,'$
$c\,$	$0\,$
$x\,$	$1\,$
$a\; x$	$a\,$
$k\; x \, + \, m$	$k\,$
$x^2\,$	$2\,x$
$a\,x^2$	$2\,a\,x$
$x^n\,$	$n\cdot x\,^{n-1}$
$a\,x\,^n$	$a\cdot n\cdot x\,^{n-1}$
$\displaystyle {1 \over x}$	$\displaystyle - {1 \over x^2}$
$\sqrt{x}$	$\displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}}$
$a\cdot f(x)$	$a\cdot f\,'(x)$
$f(x) + g(x)\,$	$f\,'(x) + g\,'(x)$

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner $f(x)\,$ och $g(x)\,$ . Av praktiska skäl tar vi upp dem i samma tabell som deriveringsreglerna.

Vi kommer att komplettera tabellen ovan så fort vi lärt oss fler deriveringsregler om Derivatan av exponentialfunktioner.