2.3 Fördjupning till Gränsvärde

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa demoavsnitt  >>

Vi förutsätter att alla funktioner $\, y = f(x) \,$ i detta avsnitt är kontinuerliga i sina resp. definitionsområden.

Gränsvärde för en funktion

Exempel

Funktionen $y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2}$ är given.

$\quad$

$\quad$

Vad händer med $\, y \,$ när $\; x \to \infty \;$? Gränsvärdet  för $\, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \,$,  då $\,x \,$ går mot $\, \infty \;$,  är $\, 0$  : $\quad\qquad\qquad\qquad\, \displaystyle {\color{Red} {\lim_{x \to \infty}}}\,{10 \over x\,-\,2} {\color{Red} { \; = \; 0}}$ Grafiskt:  Kurvan närmar sig $\, x$-axeln när $\, x \,$ växer, dvs $\, y\,$ blir allt mindre ju större $\, x \,$ blir. Men kurvan skär aldrig $\, x$-axeln. Funktionen går mot $\, 0\,$ utan att nå $\, 0$.

Analytiskt:  Ekvationen $\, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \, = \, 0 \,$ saknar lösning, därför att täljaren $\, 10\,$ är en konstant som aldrig kan bli $\, 0$. Så kan inte heller $\, \displaystyle {10 \over x\,-\,2} \,$ bli $\, 0 \,$, oavsett $\, x$. Nämnaren växer däremot obegränsat när $\, x \,$ växer. Konstant delad med obegränsat växande värden går mot $\, 0 \,$. Man skriver:

$\displaystyle {10 \over x\,-\,2} \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \;\;$, bättre uttryckt: $\, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \, = \, 0} \,$. Av samma anledning är: $\, \boxed{ \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{1 \over x} \, = \, 0} \,$.

Vad händer med $\, y \,$ när $\; x \to - \infty \;$?

Något liknande visas när $\, x \,$ går mot negativa värden, dvs när $x \to \, {\color{Red} {- \infty}}$:   $\,y\,$ mot $\,0\,$ bara att $\, y\,$ nu närmar sig $\, 0 \,$ nedifrån, kort: $\;\; y \to 0 \quad {\rm när} \quad x \to {\color{Red} {- \infty}} \;$.

"Paradoxen" att funktionen allt mer närmar sig $\, 0 \,$ utan att någonsin bli $\, 0$, löses upp och kan därmed hanteras analytiskt med hjälp av limes som generellt beskriver fenomenet att närma sig ett värde allt mer utan att nå det någonsin.

Existens av gränsvärden

I exemplet ovan bestämdes $\, \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,{10 \over x\,-\,2} \,$ utan att fråga om gränsvärdet överhuvudtaget existerade. Att gränsvärdet sedan blev $\, 0 \,$ bevisade ju existensen. Men det finns faktiskt fall där ett gränsvärde inte existerar och därför inte heller kan bestämmas. Det vore bra om man kunde undersöka det innan man började räkna.

Som exempel tar vi samma funktion som ovan, men betraktar dess beteende för $\; \color{Red} {x \to 2} \;$.

Exempel på att gränsvärde saknas

Funktionen $y = f(x) = \displaystyle {10 \over x\,-\,2}$ är given: $\qquad\qquad\qquad$ Vad händer med $\, y \,$ när $\; x \to 2 \;$?

Bestäm $\quad \displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2}$ Svar: $\quad\;\; f(x)\,$ är inte definierad för $x = 2\,$. $\qquad\qquad\qquad\qquad\quad \Downarrow$ $\displaystyle \lim_{\color{Red} {x \to 2}}\,{10 \over x\,-\,2} \quad$ existerar inte   : $\qquad$ Gränsvärde saknas.

$\qquad$

Grafen visar att kurvan skjuter upp i höjden å ena sidan och ner i "djupet" å andra sidan av punkten $\, x = 2$.

Algebraiskt är $\, f(x)\,$ inte definierad för $x = 2\,$, för $\displaystyle{10 \over x\,-\,2}$:s nämnare blir $\, 0\,$ för $\, x = 2$.

Dessutom finns det två olika resultat beroende på om $\, x$ går mot $\, 2$ från höger eller från vänster:

$f(x)\,$ går mot $+\, \infty$ när man närmar sig $\, x = 2$ från höger och mot $-\, \infty$ när man närmar sig $\, x = 2$ från vänster.

$y \;\; {\rm går\;mot} \, +\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;höger:} \; \qquad\quad y \to +\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^+$

$y \;\; {\rm går\;mot} \, -\infty \; {\rm när} \; x \; {\rm går\;mot} \, 2 \;{\rm från\;vänster:} \; \qquad\; y \to -\infty \quad {\rm när} \quad x \to 2^-$

där $x \to 2^+$ betyder att närma sig $\, x = 2$ från höger ($\, x > 2$) och $x \to 2^-$ att närma sig $\, x = 2$ från vänster ($\, x < 2$).

Följande modifierad variant av Exempel 2 ($\, {\color{Red} {x \to 0}} \,$ istället för $\, x \to \infty$) är ytterligare ett exempel på att gränsvärdet saknas:

Exempel 2 a

Bestäm $\qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {4\,x\,+\,5 \over x}$

Lösning:

$$\lim_{x \to 0^+}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^+}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, +\infty$$

$$\lim_{x \to 0^-}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to 0^-}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, -\infty$$

där $x \to 0^+$ betyder att närma sig $\, x = 0$ från höger ($\, x > 0$) och $x \to 0^-$ att närma sig $\, x = 0$ från vänster ($\, x < 0$).

Anmärkning: Sättet att skriva limes som ovan förklaras nedan i Ensidiga och oegentliga gränsvärden.

Svar: $\qquad\;\;$ Gränsvärde saknas.

Men även om en funktion skulle gå mot t.ex. mot $+\,\infty$, för ett visst $\, x$ både från höger och vänster, t.ex. $\displaystyle {f(x) = {1 \over x^2}}$ för $\, x = 0$, skulle det strikt matematiskt inte vara korrekt att säga att limes existerar och är $+\,\infty$, därför att $\infty$ inte är något värde. Med andra ord:

Ett gränsvärde måste, för att existera, vara både entydigt och ändligt.

Därför är det matematiskt korrekt att säga: Gränsvärdena $\; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \;$ och $\; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;$ existerar inte.

Ensidiga och oegentliga gränsvärden

Skiljer man närmandet från höger till $\, x = 2 \,$ från närmandet från vänster kan man bilda s.k. ensidiga gränsvärden:

$$\lim_{x \to 2^{+}}\,{10 \over x - 2}\,=\,+\,\infty \qquad\quad \; {\rm och} \; \qquad\quad \lim_{x \to 2^{-}}\,{10 \over x - 2}\,=\,-\,\infty$$

där $x \to 2^+$ betyder att närma sig $\, x = 2$ från höger ($\, x > 2$) och $x \to 2^-$ att närma sig $\, x = 2$ från vänster ($\, x < 2$).

Man pratar om höger- och vänstergränsvärdet genom att skilja mellan de två sätten att närma sig talet $\, 2$ på $\, x$-axeln: från höger $x \to 2^+$ och från vänster $x \to 2^-$, därav beteckningen ensidig. I vårt exempel ger de också två olika resultat.

Gränsvärden av funktioner som går mot oändligheten (och därmed strikt talat inte existerar), men ändå skrivs med limessymbolen, kallar man oegentliga gränsvärden.

Exempel

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}}\,=\,+\,\infty$ Grafen visar att funktionen $\displaystyle f(x) = {1 \over x^2}$ går mot $+\,\infty$ både när $\, x \to 0$ från höger ($\, x > 0$) och från vänster ($\, x < 0$). Visserligen är gränsvärdet entydigt, men det är oändligt och kallas därför oegentligt. Däremot är $\displaystyle \lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}$ varken entydigt eller ändligt. Därför existerar det inte.

$\qquad$

Att man använder det ovannämnda skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden sker av praktiska skäl. Man ersätter pilarna som vi använde inledningsvis med att beskriva gränsprocessen med limessymbolen istället. Det är bekvämt att använda en enhetlig notation för att beskriva gränsprocesser. Är man medveten om att limes enligt den strikta definitionen inte existerar, är det o.k.

OBS! Av skrivsättet för ensidiga och oegentliga gränsvärden följer fortfarande inte att $\; \displaystyle {\lim_{x \to 2}\,{10 \over x - 2}} \;$ eller $\; \displaystyle {\lim_{x \to 0}\,{1 \over x^2}} \;$ existerar.

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0

Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.