2.3 Gränsvärde

<<  Förra avsnitt

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa demoavsnitt  >>

Vårt mål i detta kapitel är att förstå begreppet derivata. Men eftersom derivata är ett gränsvärde, måste vi först behandla begreppet gränsvärde.

Limesbegreppet är centralt inom Analys\(-\) den gren av matematiken som Newton och Leibniz på 1700-talet la grunden till, även kallad Differential- och Integralkalkyl, på engelska Calculus. Det är därför vi numera använder begreppet "analytiskt" istället för "algebraiskt".

Introduktion till gränsvärde

En fallskärmshoppare faller fritt med hastigheten \( \qquad\quad\;\; \) \( v(t) = 80\,(1 - 0,88\,^t) \) där \( \, t = \, \) tiden i sek. I praktiken vet vi att det finns en maximal hastighet \( \, v_{max} \, \) som hopparen inte kan över- skrida. Bestäm denna gränshastighet matematiskt.

\( \quad \)

Fysikalisk tolkning:

Grafen till \( \, v(t) \, \) visar att det finns en maximal hastighet som hopparen inte kan överskrida:

Efter ca. 40 sek blir hopparens hastighet konstant: \( \;\; v \, \approx \, v_{max} = 80 \) m/s. \( \;\; \) Newtons fösta lag:

När ett föremål är i vila eller rör sig med konstant hastighet är summan av alla krafter \( \, = 0 \, \) (och omvänt).

Därav följer: \( \qquad \) Luftmotstånd \( \, \approx \, \) gravitation \( \quad \) dvs \( \quad \) rörelsen är ett fritt fall med luftmotstånd.

Matematisk beskrivning:

Gränsvärdet  för \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \),  då \( \,t \, \) går mot \( \, \infty \; \),  är \( \, 80\).
Man skriver: \( \quad \)

\( \displaystyle {\color{Red} {\lim_{t \to \infty}}}\,{\left(80\,(1 - 0,88\,^t)\right)} \color{Red} { \; = \; 80} \)

\( \quad \) och läser:

\( \qquad\;\; \) Limes av \( \, 80\,(1 - 0,88\,^t) \, \), då \( t \) går mot \( \infty \, \), är \( 80 \).

\( \quad\;\;\, {\color{Red} {\lim}} \, \) står för det latinska ordet \( \, {\color{Red} {\rm limes}} \, \) som betyder gräns.

Limes kan beräknas utan graf:

\( v_{max} \, = \, \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\,(1 - 0,88\,^t))} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{(80 - 80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} - \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, 80 \, - \, 0 \, = \, \color{Red} {80} \, \),

eftersom \( \qquad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(80\cdot0,88\,^t)} \, = \, \lim_{t \to \infty}\,{80} \cdot \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 80 \cdot 0 \, = \, 0 \quad \) pga \( \quad 0,88 \, < \, 1 \; \).

Experiment:  Ta upp din miniräknare och slå in: \( \; 0,88\,^{10}, \quad 0,88\,^{100}, \quad 0,88\,^{1000}, \ldots \, \). Vad händer?

\( \qquad\qquad\quad \) Är detta ett bevis för \( \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(0,88\,^t)} \, = \, 0 \, \)? Nej, men:

Generellt: \( \quad \displaystyle \lim_{t \to \infty}\,{(a\,^t)} \, = \, 0 \, \), om \( \, a \, < \, 1 \,\). Kan bevisas.

Beräkning av gränsvärden

I princip kan limes av en funktion beräknas genom att sätta in i funktionsuttrycket det värde som \( \,x \, \) ska gå emot. Men ofta ger detta odefinierade uttryck.

Därför måste man först förenkla uttrycket, ev. flera gånger. Sedan sätts in det värde som \( \,x \, \) ska gå emot, i funktionsuttrycket.

Exempel 1

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \)

Lösning:

För \( \, x = 0 \, \) är uttrycket \( \, \displaystyle{x^2 + 7\,x \over x} \, \) inte definierat därför att nämnaren blir \( \, 0 \).

Därför måste vi förenkla uttrycket.

Vi faktoriserar uttryckets täljare för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras genom att bryta ut \( x \, \):

\[ \lim_{x \to 0}\, {x^2 + 7\,x \over x} \, = \, \lim_{x \to 0}\, {{\color{Red} x}\:(x + 7) \over {\color{Red} x}} \, = \, \lim_{x \to 0}\, (x + 7) \, = \, 0 + 7 \, = \, 7 \]

Exempel 2

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \)

Lösning:

När \( x \to \infty \) går uttrycket i limes \( \displaystyle \to \frac{\infty}{\infty} \) som är odefinierat. Därför:

Vi förenklar uttrycket i limes genom att separera summan:

\[ {4\,x\,+\,5 \over x} = {4\,{\color{Red} x} \over {\color{Red} x}} \,+\,{5 \over x} \,=\, 4 \,+\, {5 \over x} \]

\[ \displaystyle{5 \over x} \; {\rm går\;mot\;} 0 \quad {\rm när} \quad x \to \infty \quad {\rm dvs} \quad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, {5 \over x} \, = \, 0 \]

Se Gränsvärde för en funktion: Samma typ av gränsvärde.

Därför kan vi bestämma limes för hela uttrycket:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {4\,x\,+\,5 \over x} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, \left(4 \,+\, {5 \over x}\right) \,= \, 4\,+\,0 \,= \, 4 \;\, \]

Exempel 3

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 2 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \). Därför:

Vi faktoriserar både täljaren och nämnaren för att kolla om man ev. kan förkorta.

Täljaren kan faktoriseras med hjälp av konjugatreglen och nämnaren genom att bryta ut:

\[ x^2\,-\,4 = (x\,+\,2)\cdot(x\,-\,2) \]

\[ 5\,x - 10 = 5\,(x\,-\,2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket och beräkna limes:

\[ \lim_{x \to 2}\, {x^2\,-\,4 \over 5\,x - 10} \, = \, \lim_{x \to 2}\, {(x + 2) \cdot {\color{Red} {(x-2)}} \over 5\,{\color{Red} {(x-2)}}} \, = \, \lim_{x \to 2} \, {x + 2 \over 5} \, = \, {2 + 2 \over 5} \, = \, {4 \over 5} \]

Exempel 4

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \)

Lösning:

Insättningen av \( \, x = 3 \, \) i uttrycket ger det odefinierade uttrycket \( \, \displaystyle{0 \over 0} \).

För att kunna se om man ev. kan förkorta uttrycket faktoriserar vi täljaren:

\[ x^2 - x - 6 = 0 \, \]

Enligt Vieta gäller för lösningarna \( \, x_1\,\) och \( \, x_2 \, \):

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-1) = 1 \\ x_1 \cdot x_2 & = - 6 \end{align}\]

Två tal vars produkt är \( \, -6 \, \) och deras summa är \( \, 1 \), är \( \, 3 \, \) och \( \, -2 \). Därför:

\[ \begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = - 2 \end{align}\]

Täljarens faktorisering blir då:

\[ x^2 - x - 6 = (x - 3) \cdot (x + 2) \]

Nu kan vi förkorta uttrycket mot nämnaren och beräkna limes\[ \lim_{x \to 3}\, {x^2 - x - 6 \over x - 3} \, = \, \lim_{x \to 3}\, {{\color{Red} {(x-3)}} \cdot (x + 2) \over {\color{Red} {(x-3)}}} \, = \, \lim_{x \to 3}\, (x + 2) \, = \, 3 + 2 \, = \, 5 \]

Exempel 5

Bestäm \( \qquad \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \)

Lösning:

För att förenkla uttrycket i limes divideras uttryckets täljare och nämnare med den högsta \( \,x\)-potensen, nämligen med \( \,x^3 \):

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3/x^3\,-\,2/x^3 \over 2\,x^3/x^3\,+\,3\,x/x^3\,-\,4/x^3} \,=\, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \]

För att förenkla sista uttrycket använder vi:

\[ \lim_{x \to \infty}\, {\color{Red} {2 \over x^3}} \, = \, \lim_{x \to \infty}\, {\color{Blue} {3 \over x^2}} \, = \, \lim_{x \to \infty} \, {\color{ForestGreen} {4 \over x^3}} \, = \, 0 \]

Insatt i det sista uttrycket blir det:

\[ \lim_{x \to \infty}\,\, {x^3\,-\,2 \over 2\,x^3\,+\,3\,x\,-\,4} \,=\quad \cdots \quad = \, \lim_{x \to \infty}\,\, {1\,-\,{\color{Red} {2/x^3}} \over 2\,+\,{\color{Blue} {3/x^2}}\,-\,{\color{ForestGreen} {4/x^3}}} \,=\, {1\,-\,{\color{Red} 0} \over 2\,+\,{\color{Blue} 0}\,-\,{\color{ForestGreen} 0}} \,=\, {1 \over 2} \]

Exempel 6

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \; \).

Lösning:

\[ f(2+h) \, = \, (2+h)\,^2 \, = \, {\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}} \]

\[ f(2) \, = \, 2\,^2 \, = \, {\color{Blue} 4} \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{f(2+h) - f(2) \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {4 + 4\,h + h\,^2}}\,\,-\,\,{\color{Blue} 4} \over h} = \lim_{h \to 0} {4\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(4 + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (4 + h) = 4 \]

Exempel 7

Funktionen \( \; f(x) = x^2 \; \) är given.   Bestäm gränsvärdet \( \quad \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \; \).

Lösning:

Eftersom uttrycket i limes involverar två variabler \( \, x \, \) och \( \, h \, \) kommer limes inte längre vara ett tal utan ett uttryck i \( \, x \).

\( \displaystyle \lim_{\color{Red} {h \to 0}} \, \) innebär att gränsvärdet ska bildas för \( \, {\color{Red} {h \to 0}} \). Därför borde \( \, x\, \) under gränsprocessen anses som en konstant.

\[ {\color{Red} {f(x+h)}} \, = \, (x+h)^2 \, = \, {\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \]

\[ {\color{Blue} {f(x)}} \, = \, {\color{Blue} {x\,^2}} \]

\[ \lim_{h \to 0}\,\,{{\color{Red} {f(x+h)}} - {\color{Blue} {f(x)}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {{\color{Red} {x^2 + 2\,x\,h + h^2}} \, - \, {\color{Blue} {x\,^2}} \over h} \, = \, \lim_{h \to 0} {2\,x\,h + h^2 \over h} = \]

\[ = \lim_{h \to 0} {{\color{Red} h}\,(2\,x + h) \over {\color{Red} h}} = \lim_{h \to 0} \, (2\,x + h) = \boxed{2\,x} \]

Observera att Exempel 6 ovan är ett specialfall av detta exempel för \( x = 2 \, \).

Jämför även med förra avsnittets Exempel 2 Kvadratisk funktion:

\( y \, = \, \boxed{2\,x} \, \) är derivatan av \( \, y \, = \, x^2 \, \), se derivatan som en ny funktion.

Internetlänkar

https://www.youtube.com/watch?v=_oPD-c8IAzs

https://www.youtube.com/watch?v=StP64lMXZjA

https://www.youtube.com/watch?v=fPOX0QX8AH0

Copyright © 2020 TechPages AB. All Rights Reserved.